《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

19. (2023 秋·毕节市期末)已知,关于 x 的分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$.
(1)当$a = 2,b = 1$时,求分式方程的解;
(2)当$a = 1$时,求 b 为何值时分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$无解;
(3)若$a = 3b$,且 a,b 为正整数,当分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$的解为整数时,求 b 的值.

答案： 19.解:
(1)把a = 2,b = 1代入分式方程$\frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$中,得$\frac{2}{2x + 3} - \frac{1 - x}{x - 5} = 1,$方程两边同时乘以$(2x + 3)(x - 5),2(x - 5) - (1 - x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5),2x^2 + 3x - 13 = 2x^2 - 7x - 15,10x = -2,x = -\frac{1}{5},$检验:把$x = -\frac{1}{5}$代入$(2x + 3)(x - 5) \neq 0,$所以原分式方程的解是$x = -\frac{1}{5}.(2)$把a = 1代入分式方程$\frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$得$\frac{1}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1,$方程两边同时乘以$(2x + 3)(x - 5),(x - 5) - (b - x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5),x - 5 + 2x^2 + 3x - 2bx - 3b = 2x^2 - 7x - 15,(11 - 2b)x = 3b - 10,①$当11 - 2b = 0时,即$b = \frac{11}{2},$方程无解;②当$11 - 2b \neq 0$时$,x = \frac{3b - 10}{11 - 2b} = -\frac{3}{2},b$不存在;当x = 5时,分式方程无解,即$\frac{3b - 10}{11 - 2b} = 5,b = 5.$综上所述$,b = \frac{11}{2}$或b = 5时,分式方程$\frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$无解.
(3)把a = 3b代入分式方程$\frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$中,得$\frac{3b}{2x + 3} + \frac{x - b}{x - 5} = 1,$方程两边同时乘以(2x + 3)(x - 5),3b(x - 5) + (x - b)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5),整理得$(10 + b)x = 18b - 15,\therefore x = \frac{18b - 15}{10 + b},\because x$为整数,x为整数$,\therefore 10 + b$必为195的因数$,10 + b \geq 11,\because 195 = 3×5×13,\therefore 195$的因数有1,3,5,13,15,39,65,195,但1,3,5小于11,不合题意,故10 + b可以取13,15,39,65,195这五个数.对应地,方程的解x为3,5,13,15,17,由于x = 5为分式方程的增根,故应舍去.对应地,b只可以取3,29,55,185,所以满足条件的b可取3,29,55,185这四个数.

20. 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯走上到二楼(扶梯行驶,两人也走扶梯). 如果两人上楼梯的速度是匀速的,每次只跨 1 级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的 2 倍. 已知男孩走了 27 级到达扶梯顶部,而女孩走了 18 级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯边有一个从二楼下到一梯的步行楼梯,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离),求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?

答案： 20.解:
(1)设女孩上梯速度为x级/分钟,自动扶梯的速度为y级/分钟,扶梯在外面的部分有s级,则男孩上梯速度为2x级/分钟,依题意,得$\begin{cases} \frac{27}{2x} = \frac{s - 27}{y} \\ \frac{18}{x} = \frac{s - 18}{y} \end{cases}$解得s = 54.
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯m遍,走过楼梯n遍,则女孩走过自动扶梯(m - 1)遍,走过楼梯(n - 1)遍.由题意,得$\frac{54m}{y + 2x} + \frac{54n}{2x} = \frac{54(m - 1)}{y + x} + \frac{54(n - 1)}{x}.$由
(1)可求得y = 2x,代入上面方程化简得$6n + m = 16.\because$无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯上还是在下楼时,m,n中一定有一个是正整数,且$0 \leq $|m - n|$ \leq 1.$试验知只有$m = 3,n = 2\frac{1}{6}$符合要求$.\therefore 3×27 + 2\frac{1}{6}×54 = 198($级).