《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

18.(成都自主招生)如图5-15,在锐角$\angle PBC$的两边上分别取点$A$和点$C$,连接$AC(AC＞AB)$,$BC$的中垂线$DE$与$\angle PAC$平分线交于点$E$,与线段$AC$交于点$F$.
(1)如图1,当$\angle ABC:\angle ACB=3:1$时,试求$AB$与$AE$的数量关系,并说明你的理由;
(2)如图2,过点$D$作射线$DH\perp AC$于$H$,交射线$AE$于点$M$,过点$E$作射线$EG\perp PB$于$G$,$D_1$与点$D$关于直线$AC$对称,当$CA\perp PB$,$\angle ABC:\angle ACB=2:1$时,求证:$AG=MD_1$.

答案：
18.
(1)解:结论:AB = AE。理由:连接BF。设∠ACB = x,则∠ABC = 3x,
∵FD垂直平分BC,
∴FB = FC,
∴∠FBC = ∠FCB = x,
∴∠ABF = ∠AFB = 2x,
∴AB = AF,∠PAC = 4x。
∵AE平分∠PAC,
∴∠EAC = 2x。
∵∠AFE = ∠DFC = 90° - x,
∴∠AEF = 180° - ∠EAF - ∠AFE = 180° - 2x - (90° - x) = 90° - x,
∴∠AEF = ∠AFE,
∴AE = AF,
∴AB = AE。
(2)证明:作EN⊥AC于N,取EC中点O,连接AD,NM,MC,MO,NO,EB,EC,如图5 - 15。
∵AE平分∠PAC,EN⊥AC,EG⊥AP,
∴EG = EN,∠EGA = ∠ENA = 90°,
∵∠BAC = 90°,
∴矩形EGAN是正方形,
∴AG = AN,∠EAN = 45°,∠GEN = 90°,
∵ED垂直平分BC,
∴EB = EC,
∴Rt△BEG≌Rt△CEN(HL),
∴∠GBE = ∠NCE,∠GEB = ∠NEC,
∴∠GEN = ∠BEC = 90°,
∵EB = EC,
∴∠ECB = ∠EBC = 45°,
∵∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠ACB,
∴∠ABC = 60°,∠ACB = 30°,
∴∠ABE = ∠ACE = 15°,
∵∠BAC = 90°,点D为BC中点,
∴AD = CD,
∴∠DAC = ∠DCA = 30°,
∵点D与点D关于AC对称,
∴∠DAC = ∠DAC = 30°,
∴∠MAD = 45° - 30° = 15°,
∵DA = DC,DM⊥AC,
∴DM垂直平分AC,
∴MA = MC,
∴∠CMH = ∠AMH = 90° - 45° = 45°,
∴∠AMC = 90°,
∴∠ENC = ∠AMC = 90°,
∵点O为EC中点,
∴ON = OM = OE = OC = 1/2EC,
∴E,N,C,M四点共圆,
∴∠EMN = ∠ECN = 15°,
∴∠MAD = ∠EMN = 15°,
∴△AMN≌△MAD,
∴AN = MD,
∴AG = MD。

19.(全国联赛)如图5-19,$P$为$\triangle ABC$的边$BC$上的一点,且$PC=2PB$,已知$\angle ABC=45°$,$\angle APC=60°$,求$\angle ACB$的度数.

答案：
19.如图5 - 16,作C点关于直线AP的对称点C₁,连接BC₁并延长至D,连接AC₁,PC₁,则C₁P = CP = 2BP。而∠C₁PB = 180° - ∠APC - ∠APC₁ = 180° - 60° - 60° = 60°,可知△C₁BP是斜边为2,一直角边长为1的直角三角形,即∠C₁BP = 90°,而∠ABC = 45°,
∴∠ABC₁ = 45°,即BA平分∠C₁BP。又知A到C₁P和C₁D等距,故CA平分∠DCP,
∴∠ACP = 1/2·(180° - 30°) = 75°,
∴∠ACB = ∠ACP = 75°。

20.(俄罗斯萨温市竞赛)如图5-20,在$\angle POQ$内部有$M$点和$N$点,同时能使$\angle MOP=\angle NOQ$,这时在直线$OP$上取点$A$,使从$A$点到$M$点及$N$点的距离和为最小;在直线$OQ$上取点$B$,使从$B$点到$M$点和$N$点的距离和也最小.证明:$AM+AN=BM+BN$.

答案：
20.证明:如图5 - 17,作点M关于直线OP的对称点M',连接NM',交OP于点A,同理，作点N关于直线OQ的对称点N',连接MN',交OQ于点B。
∵AM + AN = AM'+AN = NM',BM + BN = BM + BN' = MN',
∵△OMN'≌△OMN,即MN' = M'N,故AM + AN = BM + BN。