《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

7. (2023 春·重庆市黔江区期末)如图 9 - 6,已知 $ \angle AOB $ 的大小为 $ \alpha $,$ P $ 是 $ \angle AOB $ 内部的一个定点,且 $ OP = 5 $,点 $ E,F $ 分别是 $ OA,OB $ 上的动点,若 $ \triangle PEF $ 周长的最小值等于 5,则 $ \alpha = $(A)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案：
7.A 提示:如图9-2,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F.此时,△PEF的周长最小.连接OC,OD,PE,PF.
∵点P与点C关于OA对称,
∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP,
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=5,
∴∠COD=2α.又
∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,
∴OC=OD=CD=5,
∴△COD是等边三角形,
∴2α=60°,
∴α=30°.故选A.

8. (黄冈中学自主招生)如图 9 - 7,$ \triangle ABC $ 为直角三角形,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ AC = 1 $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 至 $ \triangle CB_1A_1 $,再将 $ \triangle CB_1A_1 $ 沿边 $ B_1C $ 翻折至 $ \triangle CB_1A_2 $,则 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle CB_1A_2 $ 重叠部分的面积为(C)

A.$ \frac{\sqrt{3}}{12} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{6} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 8.C 提示:设AB与A₁B₁交于点E,
∵∠B=30°,∠BAC=90°,AC=1,
∴BC=2,AB=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$,
∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°至△CBA₁,再将△CBA₁沿边BC翻转至△CBA₂,
∴A₁C=AC=1=A₂C,∠BAC=∠A₁=∠B₁A₁C=90°,
∴A₁B₁=1,且∠B=30°,
∴A₂E=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴△ABC与△CBA₂重叠部分的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

9. (2022 秋·广州市越秀区期末)如图 9 - 8,在平面直角坐标系中,点 $ A(4,0) $,$ B(0,8) $,点 $ C $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上,且 $ \angle ACB = 90^{\circ} $,则点 $ C $ 的坐标为(6,6)和(-2,2).

答案：
9.(6,6)和(-2,2) 提示:分两种情况:
(1)如图9-3图1所示,过点C作CD⊥OB于D,CE⊥OA于E.
∵∠BCA=∠DCE=90°,∠BCD=∠ACE=90°-∠ACD,
∵点C在AB的垂直平分线上,
∴BC=AC,可证△BCD≅△ACE(AAS),
∴AE=BD,CE=CD=OE,
∴4+AE=8-AE,
∴AE=2,
∴OE=OD=6,则点C坐标为(6,6);
(2)如图9-3图2所示,过点C作CD⊥OB于D,CE⊥OA于E.
∵∠BCA=∠DCE=90°,
∴∠BCD=∠ACE=90°-∠ACD,
∵点C在AB的垂直平分线上,
∴BC=AC,
∴△BCD≅△ACE(AAS),
∴AE=BD,CE=CD=OE,
∴4+OE=8-OE,
∴OE=2,则点C坐标为(-2,2).综上可知点C坐标为:(6,6)和(-2,2).

10. (湖北黄冈中学自主招生)如图 9 - 9,在平面四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = \angle B = \angle C = 75^{\circ} $,$ BC = 2 $,则 $ AD $ 的取值范围是0＜AD＜2.

答案： 10.0＜AD＜2 提示:如图9-4,延长CD,BA交于点E,过点C作CF//DA,交BA于点F.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,
∴∠CFB=∠A=∠B,
∴FC=BC=2,
∵0＜AD＜CF,
∴0＜AD＜2.

11. (天津市竞赛)如图 9 - 10,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 交边 $ BC $ 于点 $ D $,$ \angle B = 45^{\circ} $,$ \angle ADC = 60^{\circ} $,$ DC = 2BD $,则 $ \angle C $ 等于75°.

答案： 11.75° 提示:作CE⊥AD于点E.连接BE.
∵∠ADC=60°,
∴∠ECD=30°,得DC=2DE.又DC=2BD,有DE=BD,∠DBE=∠DEB=30°,则∠DBE=∠ECB=30°,CE=BE.
∵∠ABD=45°,
∴∠EBA=∠EAB=15°,AE=BE,于是AE=CE,△ACE是等腰直角三角形,有∠ACE=45°,
∴∠ACD=∠DCE+∠ACE=75°.

12. (湖北黄冈中学自主招生)如图 9 - 11,在锐角三角形 $ ABC $ 中,$ AB = 8 $,$ \triangle ABC $ 的面积为 40,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,若 $ M,N $ 分别是 $ BD,BC $ 上的动点,则 $ CM + MN $ 的最小值为10.

答案：
12.10 提示:如图9-5,过点C作CE⊥AB于E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N,
∵BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MN⊥BC于N,
∴MN=ME,
∴CE=CM+ME=CM+MN.三角形ABC的面积为40,AB=8,
∴$\frac{1}{2}$×8×CE=40,
∴CE=10,故CM+MN的最小值为10.
　

13. (黄冈中学·麻城一中自主招生)9 - 12,正方形 $ ABCD $ 与正三角形 $ AEF $ 的顶点 $ A $ 重合,将 $ \triangle AEF $ 绕顶点 $ A $ 旋转(可以在正方形的内部也可以在正方形的外部),在旋转过程中,当 $ BE = DF $ 时,$ \angle BAE $ 的大小可以是15°或165°.

答案： 13.15°或165°

14. (2023 秋·北京月考)如图 9 - 13,$ \triangle ABC $ 中,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ AD $ 垂直于 $ BD $,$ \triangle BCD $ 的面积为 45,$ \triangle ADC $ 的面积为 20,则 $ \triangle ABD $ 的面积等于25.

答案： 14.25 提示:延长AD交BC于E,
∵BD平分∠ABC,AD垂直于BD,
∴∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB=90°,可证△ABD≅△EBD(ASA),
∴AD=ED,△ABD的面积=△EBD的面积,△CDE的面积=△ACD的面积=20,
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=45-20=25.

15. 如图 9 - 14,各边都相等的五边形 $ ABCDE $ 中,$ \angle ABC = 2\angle DBE $,求 $ \angle ABC $ 的度数.

答案：
15.解:如图9-6,将△ABE绕B顺时针旋转∠ABC得△BCF,连接DF.
∵∠DBF=∠DBC+∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠DBE,
∴△DBE≅△DBF(SAS),
∴DF=DE,即△CDF为等边三角形,同时,由CF=CD=CB得C为△DBF的外心,故∠ABC=2∠DBF=∠DCF=60°.即∠ABC=60°.