《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

17. (2023·重庆渝中区期末)在因式分解的学习过程中,我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式. 下面以$7x^{2} + x - 6$为例,介绍一种新的因式分解法——试根法.
①观察发现,$x = -1$时,$7x^{2} + x - 6 = 0$,说明$x = -1$是方程$7x^{2} + x - 6 = 0$的一个解(或“根”). 由此推断$7x^{2} + x - 6$分解后有一个因式是$x + 1$.
②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算,另一个因式只能是一次式且一次项系数为$7$,所以设另一个因式是$(7x + a)$.
③于是$7x^{2} + x - 6 = (x + 1)(7x + a) = 7x^{2} + (a + 7)x + a$. 根据对应项系数相等,得$a + 7 = 1$,则$a = -6$.
④所以$7x^{2} + x - 6 = (x + 1)(7x - 6)$.
以上因式分解的方法叫“试根法”.
利用“试根法”,解决下面的问题:
(1)因式分解:$2x^{3} + 5x^{2} - x - 6$.
解:①把$x = 1$代入该式,得$2x^{3} + 5x^{2} - x - 6 = 0$. 所以该多项式分解后有一个因式是$x - 1$.
②因为原多项式最高次项系数为$2$,所以设另一个因式是$(2x^{2} + bx + c)$.
请继续完成下列步骤:
③填空:$b = $7,$c = $6;
④观察$2x^{2} + bx + c$的各项系数特点,利用“试根法”对$2x^{2} + bx + c$进行因式分解;
⑤多项式$2x^{3} + 5x^{2} - x - 6$因式分解的结果为$2x^{3} + 5x^{2} - x - 6 = $$(x - 1)(x + 2)(2x + 3)$.
(2)利用“试根法”因式分解:$2x^{3} + x^{2} - 16x - 15$.

答案： 17.解:依题意得$2x^{3}+5x^{2}-x - 6=(x - 1)(2x^{2}+bx + c)$，即$2x^{3}+5x^{2}-x - 6=2x^{3}+(b - 2)x^{2}+(c - b)x - c$，根据对应项系数相等，得$b - 2 = 5$，$c - b = - 1$，$-c = - 6$，$\therefore b = 7$，$c = 6$；由$b = 7$，$c = 6$，$\therefore 2x^{2}+bx + c$就是$2x^{2}+7x + 6$，当$x = - 2$时，$2x^{2}+7x + 6=2×(-2)^{2}+7×(-2)+6 = 0$，$\therefore$多项式$2x^{2}+7x + 6$分解后有一个因式是$x + 2$，$\because$多项式$2x^{2}+7x + 6$的最高次项的系数为$2$，因此可设另一个因式为$(2x + a)$，$\therefore 2x^{2}+7x + 6=(x + 2)(2x + a)$，即$2x^{2}+7x + 6=2x^{2}+(a + 4)x + 2a$，根据对应项系数相等，得$a + 4 = 7$，$2a = 6$，解得$a = 3$，$\therefore 2x^{2}+7x + 6=(x + 2)(2x + 3)$；当$x = 1$时，$2x^{3}+5x^{2}-x - 6=2×1^{3}+5×1^{2}-1 - 6 = 0$，当$x = - 2$时，$2x^{3}+5x^{2}-x - 6=2×(-2)^{3}+5×(-2)^{2}-(-2)-6 = 0$，$\therefore$多项式$2x^{3}+5x^{2}-x - 6$分解后有因式$(x - 1)$和$(x + 2)$，又$\because$多项式$2x^{3}+5x^{2}-x - 6$的最高次项的系数为$2$，因此可设另一个因式为$(2x + m)$，$\therefore 2x^{3}+5x^{2}-x - 6=(x - 1)(x + 2)(2x + m)$，即$2x^{3}+5x^{2}-x - 6=(x - 1)(x + 2)(2x + m)$，根据对应项系数相等，得$m + 2 = 5$，$2m - 4 = - 1$，$-2m = - 6$，解得$m = 3$，$\therefore 2x^{3}+5x^{2}-x - 6=(x - 1)(x + 2)(2x + 3)$.

18. (2023 秋·南阳市新野县期中)阅读下列材料:
若$x$满足$(9 - x)(x - 4) = 4$,求$(4 - x)^{2} + (x - 9)^{2}$的值.
设$9 - x = a,x - 4 = b$,则$(9 - x)(x - 4) = ab = 4,a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$,
$\therefore (4 - x)^{2} + (x - 9)^{2} = (9 - x)^{2} + (x - 4)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 5^{2} - 2×4 = 17$.
请仿照上面的方法求解下面问题:
(1)若$x$满足$(5 - x)(x - 2) = 2$,求$(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$的值;
(2)已知正方形$ABCD$的边长为$x,E,F$分别是$AD,DC$上的点,且$AE = 1,CF = 3$,长方形$EMFD$的面积是$48$,分别以$MF,DF$为边作正方形.
①$MF = $$x - 1$,$DF = $$x - 3$;(用含$x$的式子表示)
②求阴影部分的面积.

答案： 18.解:
(1)设$5 - x = a$，$x - 2 = b$，则$(5 - x)(x - 2)=ab = 2$，$a + b=(5 - x)+(x - 2)=3$，$\therefore (5 - x)^{2}+(x - 2)^{2}=(a + b)^{2}-2ab=3^{2}-2×2 = 5$；
(2)①$MF = DE=x - 1$，$DF = x - 3$；②$(x - 1)(x - 3)=48$，阴影部分的面积$=FM^{2}-DF^{2}=(x - 1)^{2}-(x - 3)^{2}$.设$x - 1 = a$，$x - 3 = b$，则$(x - 1)(x - 3)=ab = 48$，$a - b=(x - 1)-(x - 3)=2$，$\therefore (a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=2^{2}+4×48 = 196$，$\therefore a + b=\pm14$，又$a + b＞0$，$\therefore a + b = 14$，$\therefore (x - 1)^{2}-(x - 3)^{2}=a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=14×2 = 28$.即阴影部分的面积是$28$.