《2025年全国重点高中提前招生同步强化全真试卷八年级数学上册》

8. (浙江自主招生)如图 3 - 5,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是 AD 上异于 A 的任意一点,设 PB = m,PC = n,AB = c,AC = b,则(m + n)与(b + c)的大小关系是 (A)

A.m + n ＞ b + c
B.m + n ＜ b + c
C.m + n = b + c
D.无法确定

答案： 8.A 提示:在BA的延长线上取点E，使AE = AC，连接EP，如图3 - 3.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∠CAD = ∠EAD，可证△ACP≌△AEP(SAS)，
∴PE = PC.在△PBE中，PB + PE＞AB + AE，
∵PB = m，PC = n，AB = c，AC = b，
∴m + n＞b + c.

9. (福州一中自主招生)如图 3 - 6,线段 AB,CD 相交于点 O,∠DAB 和∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P,若∠D = 70°,∠B = 20°,则∠P 的度数为45°.

答案： 9.45° 提示:由对顶三角形的性质知∠DAP + ∠D = ∠PCD + ∠P①，∠PCB + ∠B = ∠PAB + ∠P②，① + ②得∠DAP + ∠D + ∠PCB + ∠B = ∠PCD + ∠PAB + 2∠P，
∵∠DAP = ∠PAB，∠PCB = ∠PCD，
∴∠D + ∠B = 2∠P，
∴∠P = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D) = $\frac{1}{2} × (20° + 70°)$ = 45°.

10. (陕西西安自主招生)如图 3 - 7,已知∠BAD = ∠DAC = 9°,AD⊥AE,且 AB + AC = BE. 则∠B =48°.

答案： 10.48° 提示:延长BA到F，使AF = AC，连接EF，如图3 - 4所示:
∵AB + AC = BE，
∴AB + AF = BE，即BF = BE，
∴∠F = ∠BEF = $\frac{180° - ∠B}{2}$.
∵∠BAD = ∠DAC = 9°，AD⊥AE，即∠DAE = 90°，
∴∠FAE = 180° - (∠BAD + ∠DAE) = 180° - (9° + 90°) = 81°，∠CAE = ∠DAE - ∠DAC = 90° - 9° = 81°，
∴∠FAE = ∠CAE，
∴△AFE≌△ACE(SAS)，
∴∠F = ∠ACE.又
∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE = ∠B + ∠BAC = ∠B + 18°，
∴∠F = ∠B + 18°，
∴∠B + 18° = $\frac{180° - ∠B}{2}$，解得∠B = 48°.

11. (“希望杯”初二)若△ABC 的三个内角满足 3∠A ＞ 5∠B,3∠C ＞ 2∠B,则△ABC 必是钝角三角形. (选填“锐角”“直角”或“钝角”)

答案： 11.钝角 提示:
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B，又3∠C＜2∠B，
∴3(180° - ∠A - ∠B)＜2∠B，即540° - 3∠A＜5∠B，
∴∠B＞$\frac{540 - 3∠A}{5}$，
∵3∠A＞5∠B，∠B＜$\frac{3}{5}$∠A，
∴$\frac{540° - 3∠A}{5}$＜$\frac{3}{5}$∠A，
∴540° - 3∠A＜3∠A，
∴∠A＞90°.

12. (江西婺源县重点高中自主招生)以线段 AC 为对角线的四边形 ABCD(它的四个顶点 A,B,C,D 按顺时针方向排列),已知 AB = BC = CD,∠ABC = 100°,∠CAD = 40°,则∠BCD 的度数为80°或100°.

答案： 12.80°或100° 提示:
∵AB = BC，∠ABC = 100°，
∴∠1 = ∠2 = ∠CAD = 40°，
∴AD//BC.点D的位置有两种情况:
(1)如图3 - 5①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1 = ∠CAD，CE = CF，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴∠ACE = ∠ACF;同理可证Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BCE = ∠DCF，
∴∠ACD = ∠2 = 40°，
∴∠BCD = 80°;
(2)如图3 - 5②，
∵AD'//BC，AB = CD'，
∴四边形ABCD'是等腰梯形，
∴∠BCD' = ∠ABC = 100°.综上所述，∠BCD = 80°或100°.

13. (2024·肥城市一模)一张正方形纸的内部被针扎了 2010 个孔,这些孔和正方形的顶点之中的任何 3 点都不共线. 作若干条互不相交的线段,它们的端点都是这些孔或正方形的顶点,这些线段将正方形分割成一些三角形,并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔. 请问一共作了6031条线段. 共得到4022个三角形.

答案： 13.6031 4022 提示:把2010个小孔和正方形的4个顶点所组成的集合称之为M，显然，M中的点都是一些三角形的公共顶点，下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，①设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n·180°;②另一方面，这些三角形的内角的顶点都是M中的点，也即它们的内角都是由M中的点提供的，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，所以得到的n个三角形的内角和又应为4×90° + 2010×360° = 2011×360°，综合两个方面可得n·180° = 2011×360°，则n = 4022，即有4022个三角形，这4022个三角形共有4022×3条边，其中有4条边是原正方形的4条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为(4022×3 - 4)÷2 = 6031.综上所述可得一共作了6031条线段，共得到4022个三角形.

14. (2024·重庆南岸区自主招生)如图 3 - 8,正五边形 ABCDE 中,M,N 分别是 CD,DE 的中点,连接 AM,BN 相交于点 O,那么∠AOB 的度数为72°.

答案：
14.提示:如图3 - 6，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC = DE，∠BCM = ∠EDM = 108°.
∵M是CD的中点，
∴CM = DM，
∴△BCM≌△EDM(SAS).
∴BM = EM.
∵AB = AE，
∴AM垂直平分BE，
∴∠OBH + ∠BOH = 90°，则△BCD≌△BAE(SAS)，
∴BD = BE，
∵N是DE的中点，
∴BN⊥DE，
∴∠EBN + ∠BEN = 90°，
∵∠BAE = 108°，AB = AE，
∴∠AEB = ∠ABE = 36°，
∴∠BEN = 108° - 36° = 72°，
∴∠BOA = ∠BEN = 72°，故答案为72°.

15. (深圳市“鹏程杯”八年级邀请赛)如图 3 - 9,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E. 在线段 AD 上任取一点 P,以 PB 为一边,在 PB 的下方作∠BPQ = 60°,PQ 交 DE 延长线于点 Q. 请判断线段 DA,DP,DQ 之间的数量关系,并证明你的结论.

答案：
15.解:DQ = DP + DA，理由如下:如图3 - 7，以PD为边作等边三角形PDF，
∴PD = FD = PF，∠PFD = ∠PDF = ∠DPF = 60°，
∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴∠ABC = 60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD = ∠CBD = 30° = ∠A，
∴∠ADB = 120°，AD = BD，
∴∠ADB + ∠ADF = 180°，点B，点D，点F三点共线.
∵DE⊥AB，AD = BD，
∴∠ADE = ∠BDE = 60°，
∴∠PFB = ∠PDQ.
∵∠FPD = ∠BPQ = 60°，
∴∠BPF = ∠QPD，可得△BPF≌△QPD(ASA)，BF = DQ，DQ = BF = DP + DB = DP + DA.

16. (北京市竞赛)如图 3 - 10,在△ABC 中,∠ABC = 46°,点 D 是边 BC 上的一点,DC = AB,∠DAB = 21°,试确定∠CAD 的度数.

答案：
16.解:如图3 - 8，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即将△ABD沿AD翻折至△ADE，连接CE，则∠EAD = 21°，AE = AB，
∴DE = BD，∠ADC = 21° + 46° = 67°，故∠ADE = ∠ADB = 180° - 67° = 113°.∠CDE = 113° - 67° = 46°，
∵DC = AB，
∴△CDE≌△ABD≌△AED，设O为AE与DC的交点，
∵∠ODE = ∠OED = 46°，
∴OD = OE，又DC = AE，则AO = CO，从而∠OCA = ∠OAC，故∠COE = 2∠ACO，易知∠COE = 2×46° = 92°，从而∠ACO = 46° = ∠OAC，得∠CAD = ∠DAE + ∠OAC = 67°.