《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

20. 如图,$\angle BAD = \angle CAE = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AE = AC$,$AF \perp CF$,垂足为$F$.
(1)若$AC = 10$,求四边形$ABCD$的面积；
(2)求证：$CE = 2AF$.

答案：
（1）解 因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD.所以∠BAC=∠EAD.在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAC=∠DAE,\\ AC=AE,\end{array}\right.$所以△ABC≌△ADE（SAS）.所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}×10^2=50$.（2）证明 由题意知△ACE是等腰直角三角形，所以∠ACE=∠E=45°.由（1）知△ABC≌△ADE，得∠ACB=∠E=45°.所以∠ACB=∠ACE.所以CA平分∠ECF.如图，过点A作AG⊥CE，垂足为点G.在Rt△ACG和Rt△AEG中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AE,\\ AG=AG,\end{array}\right.$所以Rt△ACG≌Rt△AEG（HL）.所以∠CAG=∠EAG.所以∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠E=45°.所以△ACG≌△EAG.所以CG=AG=EG.所以CE=2AG.所以CE=2AF.

21. 如图①,$OA = OB$,$OC = OD$,$\angle AOB = \angle COD$,连接$AC和BD相交于点E$,连接$OE$.
(1)求证：$AC = BD$；
(2)求证：$EO平分\angle AED$；
(3)当$\angle AOB = 60^{\circ}$时,如图②,点$F为BD$上一点,$DF = CE$,连接$OF$,$OF = BE$,$AC交OB于点G$,求证：$EG平分\angle OEB$.

答案：
证明（1）因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l} OA=OB,\\ ∠AOC=∠BOD,\\ OC=OD,\end{array}\right.$所以△AOC≌△BOD（SAS）.所以AC=BD.（2）过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BD于点N，如图所示.由（1）知△AOC≌△BOD，AC=BD，所以$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle BOD}$，即$\frac{1}{2}AC\cdot OM=\frac{1}{2}BD\cdot ON$，所以OM=ON.因为OM⊥AC，ON⊥BD，所以EO平分∠AED.（3）因为△AOC≌△BOD，所以∠OCE=∠ODF.在△OCE和△ODF中，$\left\{\begin{array}{l} OC=OD,\\ ∠OCE=∠ODF,\\ CE=DF,\end{array}\right.$所以△OCE≌△ODF（SAS）.所以OE=OF.因为OF=BE，所以OE=BE.在△OAG中，∠AOB=60°，所以∠OAC+∠AGO=180° - ∠AOB=120°.因为∠OAC=∠OBD，∠AGO=∠BGE，所以∠OBD+∠BGE=120°.在△BEG中，∠BEG=180° - （∠OBD+∠BGE）=60°，所以∠AED=180° - ∠BEG=120°.由（2）可知EO平分∠AED.所以∠OEG=$\frac{1}{2}$∠AED=60°.所以∠BEG=∠OEG=60°.所以EG平分∠OEB.