《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

18. (1)已知$A = 2x + y$,$B = 2x - y$,求$A^2 - B^2$的值；
(2)若$x^2 + 2xy + y^2 - a(x + y) + 25$是完全平方式,求$a$的值。

答案： （1）$A^2 - B^2=(2x + y)^2-(2x - y)^2=[(2x + y)+(2x - y)][(2x + y)-(2x - y)]=4x\cdot2y = 8xy$．（2）原式$=(x + y)^2 - a(x + y)+5^2$，因为原式为完全平方式，所以 $a(x + y)=\pm2×5\cdot(x + y)$，解得 $a=\pm10$．

19. (1)若$x - 1是关于x的多项式x^2 + 2ax - 3a^2$的一个因式,求$a$的值及另一个因式；
(2)若$a = 221x + 219$,$b = 221x + 220$,$c = 221x + 221$,求$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$的值。

答案： （1）$x^2 + 2ax - 3a^2=(x - a)(x + 3a)$，因为 $x - 1$ 是 $x^2 + 2ax - 3a^2$ 的一个因式，所以 $x - a=x - 1$ 或 $x + 3a=x - 1$．解得 $a = 1$ 或 $a=-\dfrac{1}{3}$．当 $a = 1$ 时，另一个因式为 $x + 3$；当 $a=-\dfrac{1}{3}$ 时，另一个因式为 $x+\dfrac{1}{3}$．（2）因为 $a = 221x + 219$，$b = 221x + 220$，$c = 221x + 221$，所以 $a - b=-1$，$b - c=-1$，$c - a = 2$．所以 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca=\dfrac{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca}{2}=\dfrac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{2}=\dfrac{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2}{2}=3$．