《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

2. 利用因式分解计算：$(\frac{35}{3})^2 - (\frac{5}{3})^2$。

答案： 2. 解 原式=$\left(\dfrac{35}{3}+\dfrac{5}{3}\right)×\left(\dfrac{35}{3}-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{40}{3}×10=\dfrac{400}{3}$.

利用因式分解简算：$(1 - \frac{1}{2^2})×(1 - \frac{1}{3^2})×(1 - \frac{1}{4^2})×…×(1 - \frac{1}{316^2})×(1 - \frac{1}{317^2})$。

答案： 原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4})\cdots(1 - \frac{1}{316})(1 + \frac{1}{316})(1 - \frac{1}{317})(1 + \frac{1}{317})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{315}{316}×\frac{317}{316}×\frac{316}{317}×\frac{318}{317}$
$=\frac{1}{2}×\frac{318}{317}$
$=\frac{159}{317}$

3. 利用因式分解计算：
(1) $[(2^2 - 1)×(3^2 - 1)×…×(2023^2 - 1)×(2024^2 - 1)]÷(1^2×2^2×3^2×…×2023^2×2024^2) = $ $\dfrac{2025}{4048}$；
(2) $\frac{1^2 - 2^2}{2 + 4} + \frac{3^2 - 4^2}{6 + 8} + … + \frac{1009^2 - 1010^2}{2018 + 2020} + \frac{1011^2 - 1012^2}{2022 + 2024} = $ $-253$。

答案： 3. （1）$\dfrac{2025}{4048}$ （2）$-253$

4. 从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个新的长方形(如图②)。
(1) 根据图①中阴影部分的面积与图②中长方形的面积相等,可以验证的等式是$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$；
(2) 小明根据以上结论去计算 $(a + 1)·(a^2 + 1)(a ≠ 1)$ 时发现只需要在前面乘一个 $\frac{a - 1}{a - 1}$ 即可得到：$\frac{a - 1}{a - 1}·(a + 1)(a^2 + 1) = \frac{a^2 - 1}{a - 1}·(a^2 + 1) = \frac{a^4 - 1}{a - 1}$,请根据以上规律计算：当 $a ≠ 1$ 时,$(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)·…·(a^{32} + 1) = $$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$(直接写出结果即可)；
(3) 运用以上规律计算：$(5 + 1)×(5^2 + 1)×(5^4 + 1)×…×(5^{64} + 1)$。
原式=$\dfrac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^{2}+1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{2}-1)×(5^{2}+1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{4}-1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{8}-1)×\cdots×(5^{64}+1)\cdots=\dfrac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)=\dfrac{5^{128}-1}{4}$.

答案： 4. （1）$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
（2）$\dfrac{a^{64}-1}{a-1}$
（3）原式=$\dfrac{1}{4}×(5-1)×(5+1)×(5^{2}+1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{2}-1)×(5^{2}+1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{4}-1)×(5^{4}+1)×\cdots×(5^{64}+1)=\dfrac{1}{4}×(5^{8}-1)×\cdots×(5^{64}+1)\cdots=\dfrac{1}{4}×(5^{64}-1)×(5^{64}+1)=\dfrac{5^{128}-1}{4}$.