《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

7. 在直角三角形$ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上.
(1)如图①,$\angle ADE = \angle B$,求证：$\triangle ADE$是直角三角形；
(2)如图②,连接$BD$,$BD平分\angle ABC$,$\angle A = 40^{\circ}$,求$\angle ADB$的度数.

答案： （1）证明 因为$\angle C=90^{\circ}$，
所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$.
因为$\angle ADE=\angle B$，
所以$\angle A+\angle ADE=90^{\circ}$.
所以$\angle AED=90^{\circ}$.
所以$\triangle ADE$是直角三角形.
（2）解 因为$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=40^{\circ}$，
所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle C-\angle A=$
$180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
因为 BD 是$\angle ABC$的平分线，
所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=25^{\circ}$.
所以$\angle ADB=180^{\circ}-\angle A-\angle ABD=$
$180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$.

8. 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的$3$倍,那么这样的三角形称为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为$120^{\circ}$,$40^{\circ}$,$20^{\circ}$的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$\triangle ABC$中,$\angle A = 35^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,$\triangle ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$\triangle ABC$是“三倍角三角形”,且$\angle B = 30^{\circ}$,求$\triangle ABC$中最小内角的度数.

答案： （1）$\triangle ABC$是“三倍角三角形”.
理由如下：因为$\angle A=35^{\circ}$，$\angle B=40^{\circ}$，
所以$\angle C=180^{\circ}-35^{\circ}-40^{\circ}=105^{\circ}=$
$35^{\circ}×3=3\angle A$. 所以$\triangle ABC$是“三倍角三角形”.
（2）因为$\angle B=30^{\circ}$，所以$\angle A+$
$\angle C=150^{\circ}$.
不妨令$\angle A＜\angle C$.①当$\angle B=3\angle A$
时，$\angle A=10^{\circ}$，$\angle C=140^{\circ}$.
②当$\angle C=3\angle A$时，$\angle A=37.5^{\circ}$，
$\angle C=112.5^{\circ}$.
③当$\angle C=3\angle B$时，$\angle C=90^{\circ}$，
$\angle A=60^{\circ}$.
所以$\triangle ABC$中最小内角为$10^{\circ}$或$30^{\circ}$.