《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

6. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中,有一种方法叫作倍长中线法。
(1)如图①,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,且 $AB ＞ AC$,延长 $AD$ 至点 $E$,使 $ED = AD$,连接 $BE$。求证：$AC = BE$。
(2)如图②,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,$CE = AB$,$\angle BAC = \angle BCA$,求证：$AE = 2AD$。

答案：
证明 （1）因为AD是△ABC的中线，
所以DB=CD.
在△ADC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=DE,\\ ∠ADC=∠BDE,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
所以△ADC≌△EDB（SAS）.
所以AC=BE.
（2）如图，延长AD至点M，使DM=AD.连接CM.

因为AD是△ABC的中线，
所以DB=CD.
在△ABD和△MCD中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=MD,\\ ∠ADB=∠MDC,\\ BD=CD,\end{array}\right. $
所以△ABD≌△MCD（SAS）.
所以AB=MC，∠B=∠MCD.
因为AB=CE，所以CM=CE.
因为∠BAC=∠BCA，
所以∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD.
即∠ACE=∠ACM.
在△ACM和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ ∠ACM=∠ACE,\\ CM=CE,\end{array}\right. $
所以△ACM≌△ACE（SAS）.
所以AM=AE.
因为AM=2AD，所以AE=2AD.