《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

已知 $a + b = \frac{1}{2}$,$ab = \frac{8}{3}$,求 $a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$ 的值。

答案： 解：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$
$= ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
$= ab(a + b)^{2}$
代入 $a + b = \frac{1}{2}$ 和 $ab = \frac{8}{3}$，
得：
原式 $= \frac{8}{3} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$= \frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$= \frac{2}{3}$

5. 利用因式分解求 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$ 的值,其中 $a + b = 1$,$ab = \frac{5}{16}$。

答案： 5. $4a^{3}b+8a^{2}b^{2}+4ab^{3}=4ab(a^{2}+2ab+b^{2})=4ab(a+b)^{2}$. 当$a+b=1$，$ab=\dfrac{5}{16}$时，原式=$4×\dfrac{5}{16}×1^{2}=\dfrac{5}{4}$.

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”。例如：$8 = 3^2 - 1^2$,$16 = 5^2 - 3^2$,$24 = 7^2 - 5^2$,则 $8$,$16$,$24$ 这三个数都是奇特数。
(1) 设两个连续奇数是 $2n - 1$ 和 $2n + 1$(其中 $n$ 为正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是 $8$ 的倍数吗？为什么？
(2) 如图,拼叠的正方形边长是从 $1$ 开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形 $ABCD$,其边长为 $39$,求阴影部分的面积。

答案：
(1) 由这两个连续奇数构造的奇特数是 $8$ 的倍数。
理由：
因为 $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n \cdot 2 = 8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是 $8$ 的倍数。
(2)
$S_{阴影部分} = 39^2 - 37^2 + 35^2 - 33^2 + \ldots + 7^2 - 5^2 + 3^2 - 1^2$
$= (39 + 37)(39 - 37) + (35 + 33)(35 - 33) + \ldots + (7 + 5)(7 - 5) + (3 + 1)(3 - 1)$
$= (39 + 37 + 35 + 33 + \ldots + 7 + 5 + 3 + 1) × 2$
$= \frac{(1 + 39) × 20}{2} × 2$
$= 800$