《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

【提出问题】
如图①,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 8$,$AC = 6$,求边 $BC$ 上的中线 $AD$ 的取值范围。
【方法呈现】
(1)延长 $AD$ 到点 $E$,使得 $DE = AD$；
(2)连接 $BE$,通过三角形全等把 $AB$,$AC$,$2AD$ 转化到 $\triangle ABE$ 中；
(3)利用三角形的三边关系可得 $AE$ 的取值范围,从而得到 $AD$ 的取值范围。
【解决问题】
(1)由已知和作图能得到 $\triangle ADC \cong \triangle EDB$,依据是$SAS$。
(2)由 “三角形的三边关系” 可求得 $AD$ 的取值范围是$1＜AD＜7$。
【方法感悟】题目中若出现 “中点”“中线” 等条件,可考虑利用 “倍长中线” 构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
【灵活运用】(3)如图②,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 的中点,$DE \perp DF$,$DE$ 交 $AB$ 于点 $E$,$DF$ 交 $AC$ 于点 $F$,连接 $EF$。求证：$BE + CF ＞ EF$。

答案： 【解决问题】
(1) $SAS$
(2) $1＜AD＜7$
【灵活运用】
(3) 证明：
延长 $ED$ 到点 $G$，使 $GD=ED$，连接 $GF$，$GC$。
在 $\triangle EDF$ 和 $\triangle GDF$ 中，
$\begin{cases}FD = FD, \\\angle EDF = \angle GDF, \\ED = GD.\end{cases}$
所以 $\triangle EDF \cong \triangle GDF (SAS)$，
所以 $EF = GF$，
因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，
所以 $BD = CD$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDG$ 中，
$\begin{cases}ED = GD, \\\angle BDE = \angle GDC, \\BD = CD.\end{cases}$
所以 $\triangle BDE \cong \triangle CDG (SAS)$，
所以 $BE = CG$，
因为 $CG + CF ＞ GF$，
所以 $BE + CF ＞ EF$。