《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

1. 已知$(x + y)^2 = 25$,$(x - y)^2 = 9$,求$xy与x^2 + y^2$的值。

答案： 解 因为$(x+y)^{2}=25$，$(x-y)^{2}=9$，所以$xy=\dfrac{1}{4}\left[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right]=\dfrac{1}{4}×(25-9)=4$．$x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{2}\left[(x+y)^{2}+(x-y)^{2}\right]=\dfrac{1}{2}×(25+9)=17$．

2. 计算：
(1)$(2x + y - 3z)^2$；
(2)$(a - b + c)(a + b - c)$；
(3)$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。

答案： （1）将$(2x+y)$视为整体$A$，则原式$=(A-3z)^{2}=A^{2}-6Az+9z^{2}$．展开$A^{2}=(2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}$，$(2x+y-3z)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}-6(2x+y)z+9z^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}-12xz-6yz+9z^{2}$．
（2）原式$=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a^{2}-(b-c)^{2}=a^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2})=a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}$．
（3）设$A=x^{2}+1$，则原式$=(A+x)(A-x)=A^{2}-x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}=x^{4}+x^{2}+1$．