《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

8. 分解因式：
(1) $ (x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2} $；
(2) $ a^{2} - 2ab - c^{2} + b^{2} $；
(3) $ 16m^{4} - 8m^{2}n^{2} + n^{4} $；
(4) $ (x + 1)(x + 2) + \frac{1}{4} $。

答案： 解（1）原式$=(x^{2}+y^{2}+2xy)\cdot (x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$.
（2）原式$=a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}=(a-b+c)(a-b-c)$.
（3）原式$=(4m^{2})^{2}-2× 4m^{2}× n^{2}+(n^{2})^{2}=(4m^{2}-n^{2})^{2}=(2m+n)^{2}(2m-n)^{2}$.
（4）原式$=x^{2}+3x+2+\dfrac{1}{4}=x^{2}+3x+\dfrac{9}{4}=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}$.

9. 观察下列各式：① $ 3^{2} - 1^{2} = 4 × 2 $；② $ 4^{2} - 2^{2} = 4 × 3 $；③ $ 5^{2} - 3^{2} = 4 × 4 $；④ $ 6^{2} - 4^{2} = 4 × 5 $；…。下列选项成立的是(C)
A.$ n^{2} - (n - 1)^{2} = 4n $
B.$ (n + 1)^{2} - n^{2} = 4(n + 1) $
C.$ (n + 2)^{2} - n^{2} = 4(n + 1) $
D.$ (n + 2)^{2} - n^{2} = 4(n - 1) $

答案： C

10. 已知 $ a \neq c $,若 $ M = a^{2} - ac $,$ N = ac - c^{2} $,则 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系是(A)
A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定

答案： A

11. 观察下列式子：
① $ x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1) $；
② $ x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1) $；
③ $ x^{4} - 1 = (x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) $。
(1)模仿以上分解因式的方法,对 $ x^{5} - 1 $ 进行因式分解：$ x^{5} - 1 = $$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
(2)观察以上结果,猜想 $ x^{n} - 1 = $$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$($ n \geq 2 $,且 $ n $ 为正整数,直接写结果,不用验证)；
(3)根据上述规律,$ 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 $ 的值为127。

答案： （1）$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$
（2）$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$
（3）127