《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

18. 如图,$BD是\angle ABC$的平分线,$AB = BC$,点$E在BD$上,连接$AE$,$CE$,$DF \perp AE$,$DG \perp CE$,垂足分别是$F$,$G$,求证：$DF = DG$.

答案： 证明 因为BD平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array}\right.$所以△ABE≌△CBE（SAS）.所以∠AEB=∠CEB.所以∠AED=∠CED.因为DF⊥AE，DG⊥CE，所以DF=DG.

19. 如图,$AB // CD$,以点$A$为圆心,小于$AC$的长为半径作圆弧,分别交$AB$,$AC于点E$,$F$,再分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作圆弧,两条圆弧交于点$P$,作射线$AP$,交$CD于点M$.
(1)若$\angle ACD = 114^{\circ}$,求$\angle MAB$的度数；
(2)若$CN \perp AM$,垂足为$N$,求证：$\triangle CAN \cong \triangle CMN$.

答案： （1）解 因为AB//CD，所以∠ACD+∠CAB=180°.因为∠ACD=114°，所以∠CAB=66°.由作图方法知AM是∠CAB的平分线，所以∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=33°.（2）证明 由作图方法知AM平分∠CAB，所以∠CAM=∠MAB.因为AB//CD，所以∠MAB=∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因为CN⊥AM，所以∠ANC=∠MNC=90°.在△CAN和△CMN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CAM=∠CMA,\\ ∠ANC=∠MNC,\\ CN=CN,\end{array}\right.$所以△CAN≌△CMN（AAS）.