《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

20. 如果三角形的两个内角$\alpha与\beta满足2\alpha+\beta = 90^{\circ}$,那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”.请解决以下问题：
(1)①若$\triangle ABC$是“奇妙互余三角形”,$\angle C＞90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,则$\angle B = $15°；
②若$\triangle ABC$是“奇妙互余三角形”,$\angle C＞90^{\circ}$,$\angle A = 40^{\circ}$,则$\angle C = $115°或130°.
(2)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 52^{\circ}$,点$P是射线CB$上的一点,且$\triangle ABP$是“奇妙互余三角形”,请求出$\angle APC$的度数.

答案： 解（1）①15° ②115°或130°
（2）当P在线段BC上时，如图①，∠C=90°，∠ABC=52°，
当2∠PAB+∠ABC=90°时，
∠PAB=$\frac{90°-52°}{2}$=19°.
∠APC=52°+19°=71°.
当∠PAB+2∠ABC=90°时，无解.
当P在CB延长线上时，如图②，
因为∠ABC=52°，
所以∠ABP=180°-52°=128°.
当2∠APC+∠BAP=90°时，
因为∠APC+∠BAP=∠ABC，
所以∠APC=90°-∠ABC=38°.
当∠APC+2∠BAP=90°时，
因为∠APC+∠BAP=∠ABC，
所以∠BAP=90°-∠ABC=38°.
所以∠APC=52°-38°=14°.
综上所述，∠APC的度数为71°或38°或14°.

21. 在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$.
(1)如图①,$P为线段AD$上一点,过点$P作PE\perp AD交线段BC的延长线于点E$.
①若$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle ACB = 80^{\circ}$,则$\angle E = $25°；
②猜想$\angle E与\angle B$,$\angle ACB$之间的数量关系,并给出证明.
(2)如图②,$P在线段AD$的延长线上,过点$P作PE\perp AD交直线BC于点E$,请直接写出$\angle PED与\angle B$,$\angle C$的数量关系.

答案： 解（1）①25°
②∠E=$\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).证明如下：
设∠B=x，∠ACB=y，
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
因为∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
所以∠BAC=180°-x-y.
所以∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°-x-y).
所以∠PDE=∠B+∠BAD=x+$\frac{1}{2}$(180°-x-y)=90°+$\frac{1}{2}$(x-y).
因为PE⊥AD，所以∠PDE+∠E=90°.
所以∠E=90°-[90°+$\frac{1}{2}$(x-y)]=$\frac{1}{2}$(y-x)=$\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).
（2）∠PED=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)