《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

4. 如图,$BP是\triangle ABC中\angle ABC$的平分线,$CP是\triangle ABC的外角\angle ACM$的平分线. 若$\angle ABP= 20^{\circ}$,$\angle ACP= 50^{\circ}$,则$\angle A+\angle P= $(C)

A.$70^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： C

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD$,$BE三等分\angle ABC$,$CD$,$CE三等分\angle ACB$. 若$\angle A= \alpha^{\circ}$,则$\angle BEC$的度数为$\left(60+\dfrac{2}{3}\alpha \right)$$^{\circ}$(用含$\alpha$的式子表示).

答案： $\left(60+\dfrac{2}{3}\alpha \right)$

如图①,已知线段$AB$,$CD相交于点O$,连接$AD和CB$,我们把这种图形称之为“8 字型”,试解答下列问题.
(1)在图①中写出$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle D$之间的等量关系：______.
(2)如图②,$\angle DAB和\angle BCD的平分线AP和CP相交于点P$,并与$CD$,$AB分别交于点M$,$N$.
①若$\angle D= 40^{\circ}$,$\angle B= 36^{\circ}$,求$\angle P$的度数；
②探究$\angle P与\angle D$,$\angle B$之间有何等量关系,并说明理由.

(1)$\angle A+\angle D=\angle B+\angle C$
(2)①$\because \angle D=40^{\circ}$，$\angle B=36^{\circ}$，由(1)得$\angle DAB+\angle D=\angle B+\angle BCD$，$\therefore \angle DAB+40^{\circ}=36^{\circ}+\angle BCD$，$\angle BCD-\angle DAB=4^{\circ}$。$\because AP$，$CP$分别平分$\angle DAB$，$\angle BCD$，$\therefore \angle DAB=2\angle DAP$，$\angle BCD=2\angle DCP$，$\therefore 2\angle DCP - 2\angle DAP=4^{\circ}$，$\angle DCP - \angle DAP=2^{\circ}$。在“8字型”$DAMP$中，$\angle D+\angle DAP=\angle P+\angle DCP$，$\therefore \angle P=\angle D - (\angle DCP - \angle DAP)=40^{\circ}-2^{\circ}=38^{\circ}$。
②$\angle P=\frac{1}{2}(\angle D+\angle B)$。理由：由(1)得$\angle DAB+\angle D=\angle B+\angle BCD$，$\angle BCD - \angle DAB=\angle D - \angle B$。$\because AP$，$CP$为平分线，$\angle DAB=2\angle DAP$，$\angle BCD=2\angle DCP$，$\therefore 2\angle DCP - 2\angle DAP=\angle D - \angle B$，$\angle DCP - \angle DAP=\frac{1}{2}(\angle D - \angle B)$。在“8字型”$DAMP$中，$\angle D+\angle DAP=\angle P+\angle DCP$，$\angle P=\angle D - (\angle DCP - \angle DAP)=\angle D - \frac{1}{2}(\angle D - \angle B)=\frac{1}{2}(\angle D+\angle B)$。

答案：
(1)$\angle A+\angle D=\angle B+\angle C$
(2)①$\because \angle D=40^{\circ}$，$\angle B=36^{\circ}$，由
(1)得$\angle DAB+\angle D=\angle B+\angle BCD$，$\therefore \angle DAB+40^{\circ}=36^{\circ}+\angle BCD$，$\angle BCD-\angle DAB=4^{\circ}$。
$\because AP$，$CP$分别平分$\angle DAB$，$\angle BCD$，$\therefore \angle DAB=2\angle DAP$，$\angle BCD=2\angle DCP$，$\therefore 2\angle DCP - 2\angle DAP=4^{\circ}$，$\angle DCP - \angle DAP=2^{\circ}$。
在“8字型”$DAMP$中，$\angle D+\angle DAP=\angle P+\angle DCP$，$\therefore \angle P=\angle D - (\angle DCP - \angle DAP)=40^{\circ}-2^{\circ}=38^{\circ}$。
②$\angle P=\frac{1}{2}(\angle D+\angle B)$。理由：由
(1)得$\angle DAB+\angle D=\angle B+\angle BCD$，$\angle BCD - \angle DAB=\angle D - \angle B$。
$\because AP$，$CP$为平分线，$\angle DAB=2\angle DAP$，$\angle BCD=2\angle DCP$，$\therefore 2\angle DCP - 2\angle DAP=\angle D - \angle B$，$\angle DCP - \angle DAP=\frac{1}{2}(\angle D - \angle B)$。
在“8字型”$DAMP$中，$\angle D+\angle DAP=\angle P+\angle DCP$，$\angle P=\angle D - (\angle DCP - \angle DAP)=\angle D - \frac{1}{2}(\angle D - \angle B)=\frac{1}{2}(\angle D+\angle B)$。