《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版新疆专版》

【阅读材料】图形是一种重要的数学语言,对于同一个图形,可以用不同的方法计算图形的面积,从而得到一个数学等式。已知下列等式成立：
①$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
②$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$。
如图①,通过不同的方法计算边长为$a + b$的正方形的面积,可以说明等式①的合理性。
【问题解决】如图②,将边长为$a + b + c的正方形ABCD$分割成几个小正方形与小长方形。
(1)请你根据图②的面积说明等式②的合理性；
(2)若$a$,$b$,$c满足a + b + c = 12$,$ab + bc + ac = 33$,求$a^2 + b^2 + c^2$的值。
【拓展探究】如图③,有三种规格的纸片：$a × a$,$b × b$,$a × b$(其中$a ＜ b$)若干张。
(3)请你利用上述纸片拼接一个大长方形,并能利用它的面积说明等式$(2a + b) \cdot (a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$成立。请画出你的设计示意图。(画出一种即可,不需说明成立的理由)

答案：
解
(1)因为$S_{正方形ABCD} = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$,

且$S_{正方形ABCD} = (a + b + c)^2$,
所以$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$。
(2)由条件可知$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$,
所以$12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 × 33$,
所以$a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78$。
(3)如图所示(图形不唯一)。

因为$S_{长方形ABCD} = 2a^2 + 5ab + 2b^2$,且$S_{长方形ABCD} = (2a + b)(a + 2b)$,
所以$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$。