《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 方程$(x - 5)(x - 6) = x - 5$的解是(D)。
A.$x = 5$
B.$x = 5或x = 6$
C.$x = 7$
D.$x = 5或x = 7$

答案： D

2. 已知关于$x的方程x^{2}+px + q = 0的两根为x_{1}= 2$,$x_{2}= -3$,则原方程可化为(C)。
A.$(x + 2)(x + 3) = 0$
B.$(x + 2)(x - 3) = 0$
C.$(x - 2)(x + 3) = 0$
D.$(x - 2)(x - 3) = 0$

答案： C

3. 方程$3x^{2}= 2x$的根是$x_{1}=0,x_{2}=\frac{2}{3}$。

答案： $x_{1}=0,x_{2}=\frac{2}{3}$

4. 现定义运算“★”,对于任意实数$a$,$b$,都有$a★b = a^{2}-3a + b$,如：$3★5 = 3^{2}-3×3 + 5$,若$x★2 = 6$,则实数$x$的值是-1 或 4。

答案： -1 或 4

5. 解方程：
(1)$x^{2}-8x = 0$；
(2)$(2x - 3)^{2}= x^{2}$；
(3)$4(x + 2)^{2}= 9(x - 3)^{2}$。

答案：
(1)解:$x^{2}-8x=0$
$x(x-8)=0$
$x_{1}=0,x_{2}=8$
(2)解:$(2x-3)^{2}-x^{2}=0$
$(2x-3+x)(2x-3-x)=0$
$(3x-3)(x-3)=0$
$x_{1}=3,x_{2}=1$
(3)解:$4(x+2)^{2}-9(x-3)^{2}=0$
$[2(x+2)-3(x-3)][2(x+2)+3(x-3)]=0$
$(-x+13)(5x-5)=0$
$(x-13)(5x-5)=0$
$x_{1}=13,x_{2}=1$

1. 用指定方法解方程$x^{2}-12x + 27 = 0$。

答案：
(1)公式法：原方程为$x^{2}-12x+27=0$,这里$a=1,b=-12,c=27$.
$\because b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×1×27=36＞0$,
$\therefore x=\frac{12\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{12\pm6}{2}$.
因此原方程的根为$x_{1}=3,x_{2}=9$.
(2)配方法：原方程为$x^{2}-12x+27=0$,
$x^{2}-12x=-27,x^{2}-12x+6^{2}=-27+6^{2}$,
$(x-6)^{2}=9,x-6=\pm3,x_{1}=3,x_{2}=9$.

2. 尝试用因式分解法解一元二次方程：$x^{2}-2x - 3 = 0$。

答案： 解:$x^{2}-2x-3=0$,
$(x+1)(x-3)=0$,
$x+1=0$或$x-3=0$,
$x=-1$,或$x=3$,
故方程的解为$x_{1}=-1,x_{2}=3$.

3. 试写出一个一元二次方程,使它的两根满足：
(1)一根为$0$,另一根是负数；
(2)一根是正数,另一根在$-2和-1$之间。

答案：
(1)$x(x+2)=0$(答案不唯一)
(2)$(x-3)\left(x+\frac{3}{2}\right)=0$(答案不唯一)

1. 你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程$x^{2}+5x - 14 = 0即x(x + 5) = 14$为例加以说明。数学家赵爽(公元$3$~$4$世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是$(x + x + 5)^{2}$,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即$4×14 + 5^{2}$,据此易得$x = 2$。那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为$1$的小正方形网格格点上)中,能够说明方程$x^{2}-4x - 12 = 0$的正确构图是 ②。(只填序号)

答案： ②

2. 对于$x^{3}-(n^{2}+1)x + n$这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^{3}-(n^{2}+1)x + n = x^{3}-n^{2}x - x + n = x(x^{2}-n^{2})-(x - n)$
$=x(x - n)(x + n)-(x - n)= (x - n)(x^{2}+nx - 1)$。
理解运用：如果$x^{3}-(n^{2}+1)x + n = 0$,那么$(x - n)(x^{2}+nx - 1) = 0$,即有$x - n = 0或x^{2}+nx - 1 = 0$。
因此,方程$x - n = 0和x^{2}+nx - 1 = 0的所有解就是方程x^{3}-(n^{2}+1)x + n = 0$的解。
解决问题：求方程$x^{3}-5x + 2 = 0$的解。

答案： 解:$\because x^{3}-5x+2=0$,
$\therefore x^{3}-4x-x+2=0$,
$\therefore x(x^{2}-4)-(x-2)=0$,
$\therefore x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$,
则$(x-2)[x(x+2)-1]=0$,即$(x-2)(x^{2}+2x-1)$=0,
$\therefore x-2=0$或$x^{2}+2x-1=0$,
解得$x=2$或$x=-1\pm\sqrt{2}$,
故答案为:$x=2$或$x=-1+\sqrt{2}$或$x=-1-\sqrt{2}$.