《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 用配方法解方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 时,配方后得到的方程为(D)。
A.$(x + 1)^{2} = 0$
B.$(x - 1)^{2} = 0$
C.$(x + 1)^{2} = 2$
D.$(x - 1)^{2} = 2$

答案： D

2. 若 $x^{2}+px+\frac{16}{9}= (x-\frac{4}{3})^{2}$,则 $p$ 为(C)。
A.$-\frac{4}{3}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$-\frac{8}{3}$
D.$\frac{8}{3}$

答案： C

3. 将二次三项式 $x^{2}-4x + 1$ 配方后得(D)。
A.$(x + 2)^{2} + 3$
B.$(x + 2)^{2} - 3$
C.$(x - 2)^{2} + 3$
D.$(x - 2)^{2} - 3$

答案： D

4. 把下列各式配成完全平方式：
(1) $x^{2}-5x+$$\frac{25}{4}$$=(x-$$\frac{5}{2}$$ )^{2}$；
(2) $x^{2}-\frac{1}{3}x+$$\frac{1}{36}$$=(x-$$\frac{1}{6}$$ )^{2}$；
(3) $9x^{2}+6x+$1$=($$3x$$+$1$ )^{2}$。

答案：
(1)$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$；
(2)$\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$；
(3)1 $3x$ 1

5. 当 $m = $$\pm10$时,代数式 $x^{2}+mx + 25$ 是完全平方式；当 $k = $16时,代数式 $x^{2}-8x + k$ 是完全平方式。

答案： $\pm10$ 16

6. 解方程：
(1) $x^{2}-2x - 624 = 0$；
(2) $2x^{2}-x - 1 = 0$；
(3) $x^{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}= 0$；
(4) $(x - 3)(2x + 1) = -5$；
(5) $-x^{2}+x+\frac{1}{2}= 0$。

答案：
(1)$x_{1}=26$,$x_{2}=-24$；
(2)$x_{1}=-\frac{1}{2}$,$x_{2}=1$；
(3)$x_{1}=-\frac{2}{3}$,$x_{2}=\frac{1}{2}$；
(4)$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=2$；
(5)解:$\because -x^{2}+x=-\frac{1}{2}$,$\therefore x^{2}-x=\frac{1}{2}$,$\therefore x^{2}-x+$$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$\therefore (x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$,$\therefore |x-\frac{1}{2}|=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$解得$x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$,$x_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$

1. 若 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x + 4y - 6z + 14 = 0$,则 $x + y + z$ 的值是(B)。
A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： B

2. 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$。判断 $\triangle ABC$ 的形状。

答案： $\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$,$\therefore 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0$,$(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})=0$,$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$,$\left\{\begin{array}{l} a-b=0,\\ b-c=0,\\ a-c=0,\end{array}\right. \therefore a=b=c$,$\therefore \triangle ABC$为等边三角形.

已知代数式 $x^{2}-5x + 7$,先用配方法说明不论 $x$ 取何值,这个代数式的值总是正数。再求出当 $x$ 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？

答案： 解:$x^{2}-5x+7=x^{2}-5x+(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}+7$$=(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{3}{4}$,$\therefore$不论$x$为何值,$(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$,$\therefore$这个代数式的值总是正数.当$x=\frac{5}{2}$时,这个代数式的值最小,最小值为$\frac{3}{4}$.