《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 一杠杆装置如图,杆的一端吊起一桶水,水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变。甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 $ F_{甲} $、$ F_{乙} $、$ F_{丙} $、$ F_{丁} $,将相同重量的水桶吊起同样的高度,若 $ F_{乙} ＜ F_{丙} ＜ F_{甲} ＜ F_{丁} $,则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是(B)。

A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学

答案： B

2. 如图所示,已知等边三角形 $ ABC $ 放置在平面直角坐标系中,且 $ A(0,0) $,$ B(6,0) $,反比例函数的图象经过点 $ C $。

(1)求点 $ C $ 的坐标及反比例函数的解析式。
(2)将等边 $ \triangle ABC $ 向上平移 $ n $ 个单位,使点 $ B $ 恰好落在双曲线上,求 $ n $ 的值。

答案： 解:
(1)过C点作$ CD⊥x $轴,垂足为D,设反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $,
∵$ △ABC $是等边三角形,
∴$ AC=AB=6 $,$ ∠CAB=60° $,
∴$ AD=3 $,$ CD=3\sqrt{3} $,
∴点C的坐标为$ (3,3\sqrt{3}) $.
∵反比例函数的图象经过点C,
∴$ k=9\sqrt{3} $,
∴反比例函数的解析式为$ y=\frac{9\sqrt{3}}{x} $.
(2)若等边$ △ABC $向上平移n个单位,使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标为6,即纵坐标$ y=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $,也就是$ n=\frac{3\sqrt{3}}{2} $.

如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + 5 $ 和 $ y = -2x $ 的图象相交于点 $ A $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ A $。

(1)求反比例函数的表达式。
(2)设一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + 5 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象的另一个交点为 $ B $,连接 $ OB $,求 $ \triangle ABO $ 的面积。

答案： 解:
(1)由题意得$ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x+5, \\ y=-2x, \end{cases} $解得$ \begin{cases} x=-2, \\ y=4, \end{cases} $
∴$ A(-2,4) $.
∵反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象经过点A.
∴$ k=-2×4=-8 $,
∴$ y=-\frac{8}{x} $.
(2)由题意得$ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x+5, \\ y=-\frac{8}{x}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-2, \\ y_{1}=4, \end{cases} $或$ \begin{cases} x_{2}=-8, \\ y_{2}=1, \end{cases} $
∴$ B(-8,1) $.
设函数$ y=\frac{1}{2}x+5 $的图象交y轴于点C，则C$ (0,5) $.
$ S_{△ABO}=S_{△CBO}-S_{△CAO}=\frac{1}{2}×5×(8-2)=15 $.