《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(C).
A.正三角形
B.正五边形
C.正六边形
D.正七边形

答案： C

2. 已知正多边形外接圆的半径与正多边形边长相等,那么正多边形的边数是(C).
A.4
B.5
C.6
D.8

答案： C

3. 如果正四边形边心距为 2,那么它的外接圆半径等于(D).
A.2
B.4
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： D

4. 正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是(A).
A.相等
B.互余
C.互补
D.互余或互补

答案： A

5. 下图中正六边形螺帽的边长是 2 cm,这个扳手的开口 a 的值应是(A).

A.$2\sqrt{3}$ cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm
D.1 cm

答案： A

6. $\odot O$ 的内接正三角形的边心距为 2 cm,则 $\odot O$ 的面积为$16\pi\ cm^2$,该正三角形的边长为$4\sqrt{3}\ cm$。

答案： 1. 首先求$\odot O$的半径$R$：
设$\odot O$的半径为$R$，内接正三角形的边心距为$r$，对于正三角形，圆心角$\angle AOB = 120^{\circ}$（$O$为圆心，$A$、$B$为正三角形顶点），连接$OA$、$OB$，过$O$作$OD\perp AB$于$D$，则$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$，$r = OD = 2\mathrm{cm}$。
在$Rt\triangle AOD$中，$\cos\angle AOD=\frac{OD}{OA}$，因为$OA = R$，$\angle AOD = 60^{\circ}$，$OD = r$，根据三角函数关系$\cos60^{\circ}=\frac{r}{R}$，又$r = 2\mathrm{cm}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$R = 2r=4\mathrm{cm}$。
2. 然后求$\odot O$的面积$S$：
根据圆的面积公式$S=\pi R^{2}$，把$R = 4\mathrm{cm}$代入，可得$S=\pi×4^{2}=16\pi\mathrm{cm}^{2}$。
3. 最后求正三角形的边长$a$：
在$Rt\triangle AOD$中，$\sin\angle AOD=\frac{AD}{OA}$，$OA = R = 4\mathrm{cm}$，$\angle AOD = 60^{\circ}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$AB = 2AD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），由$\sin\angle AOD=\frac{AD}{OA}$，可得$AD = OA\sin\angle AOD$，$AD = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
所以正三角形的边长$a = AB = 2AD$，$a = 4\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
故答案依次为：$16\pi\mathrm{cm}^{2}$；$4\sqrt{3}\mathrm{cm}$。

7. 若圆内接正六边形的边长为 a,则它的内接正方形的边心距为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

8. 用一批共长 120 m 的篱笆围出一块草地来,分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积,并比较它们的大小。

答案： 解:正三角形的边长为40m,$S_{正三角形}=\frac{1}{2}×40×20\sqrt{3}=400\sqrt{3}\ (m^2)$;　正方形的边长为30m,$S_{正方形}=30^2=900\ (m^2)$;　正六边形的边长为20m，　$S_{正六边形}=6×\frac{1}{2}×20×\frac{20\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\ (m^2)$;　圆的半径$r=\frac{120}{2\pi}=\frac{60}{\pi}\ (m)$，　$S_{圆}=\pi r^2=\pi×\frac{60^2}{\pi^2}=\frac{3600}{\pi}$.
∴在周长都是120m时，　$S_{正三角形}＜S_{正方形}＜S_{正六边形}＜S_{圆}$

9. 已知：一个正 n 边形的外接圆半径和内切圆半径分别为 20 cm,$10\sqrt{3}$ cm. 求这个正多边形的周长和面积。

答案： 解:正$n$边形的边长等于$2\sqrt{20^2-(10\sqrt{3})^2}=20\ (cm)$，
∵$n$边形的边长等于外接圆的半径，
∴$n=6$，　$S=6×\frac{1}{2}×20×10\sqrt{3}=600\sqrt{3}\ (cm^2)$，　$C=6×20=120(cm)$.

1. 将边长为 3 cm 的正三角形的各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积等于(B).
A.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ cm^2
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm^2
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ cm^2
D.$\sqrt{3}$ cm^2

答案： B