《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

4. 一养鸡专业户计划用 $ 116 \mathrm{m} $ 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门 $ MN $ 宽 $ 2 \mathrm{m} $,门 $ PQ $ 和 $ RS $ 的宽都是 $ 1 \mathrm{m} $,怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？

答案： 解:设鸡舍边$AB$为$x\ m$,面积为$y\ m^2$,则
$y=\dfrac{(116+4)-4x}{2}\cdot x=x\ (60-2x)=-2x^2+60x$,
$a=-2$,$b=60$,$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{60}{2×(-2)}=15$,$\dfrac{116+4-4×15}{2}=30$.
$\therefore AB$边为$15\ m$,$AD$边为$30\ m$时鸡舍面积最大.

1. 如图在平面直角坐标系中,已知 $ OA = 12 \mathrm{cm} $,$ OB = 6 \mathrm{cm} $,点 $ P $ 从 $ O $ 开始沿 $ OA $ 边向点 $ A $ 以 $ 1 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $ 的速度移动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BO $ 边向点 $ O $ 以 $ 1 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $ 的速度移动,如果 $ P,Q $ 同时出发,用 $ t(\mathrm{s}) $ 表示移动的时间 $ (0 \leq t \leq 6) $,那么：

(1)设 $ \triangle POQ $ 的面积为 $ y \mathrm{cm}^{2} $,求 $ y $ 关于 $ t $ 的函数解析式。
(2)当 $ \triangle POQ $ 的面积最大时,将 $ \triangle POQ $ 沿直线 $ PQ $ 折叠得到 $ \triangle PCQ $,试判断点 $ C $ 是否落在直线 $ AB $ 上,并说明理由。

答案： 解:
(1)由题意得$OP=t$,$OQ=OB-BQ=6-t$,
$\therefore S_{\triangle POQ}=\dfrac{1}{2}OP\cdot OQ=\dfrac{1}{2}t\cdot(6-t)=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0 \leq t \leq 6)$.
(2)$\because y=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0 \leq t \leq 6)$,
$\therefore$当$t=3$时,$y$有最大值.
$\therefore OQ=3$,$PO=3$,即$\triangle POQ$是等腰直角三角形,根据折叠可得四边形$OPCQ$是正方形,
$\therefore$点$C(3,3)$.
$\because$点$A(12,0)$,$B(0,6)$,
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+6$,
当$x=3$时,$y=\dfrac{9}{2} \neq 3$,
$\therefore$点$C$不落在直线$AB$上.

2. 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ AB = 12 \mathrm{cm} $,点 $ P $ 是 $ AB $ 边上的一个动点,过点 $ P $ 作 $ PE $ 垂直 $ BC $ 于点 $ E $,$ PF $ 垂直 $ AC $ 于点 $ F $。
(1)若设 $ PB $ 为 $ x \mathrm{cm} $,四边形 $ PECF $ 的面积为 $ S \mathrm{cm}^{2} $,试确定 $ S $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2)当 $ PB $ 为何值时,$ S $ 有最大值,最大值为多少？

答案： 解:
(1)$\because PE \perp BC$,$PF \perp AC$,
$\therefore \angle PEC=\angle PFC=90°$.
又$\because \angle C=90°$,
$\therefore$四边形$PECF$为矩形.
在$Rt\triangle ACB$中,$\angle B=30°$,$\therefore AC=\dfrac{1}{2}AB=6\ cm$,
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=6\sqrt{3}\ cm$,又$\because PB=x\ cm$,
在$Rt\triangle PBE$中,$\angle B=30°$,$\therefore PE=\dfrac{1}{2}PB=\dfrac{1}{2}x\ cm$,
$BE=\sqrt{PB^2-PE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ cm$,
$\therefore CE=BC-CE=\left( 6\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x \right)\ cm$,
$\therefore S=PE× CE=\dfrac{1}{2}x\left( 6\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$.
(2)$S=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+6^2-6^2)$
$=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2+9\sqrt{3}$.
$\because a=-\dfrac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0$,
$\therefore$当$x=6$时,$S$有最大值$9\sqrt{3}$,即当$PB=6\ cm$时,$S_{最大}=9\sqrt{3}$.