《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化,打造温馨舒适的学习环境,准备到一家植物种植基地购买$A$,$B$两种花苗。据了解,购买$A种花苗3$盆,$B种花苗5$盆,需$210$元；购买$A种花苗4$盆,$B种花苗10$盆,则需$380$元。
(1)求$A$,$B$两种花苗的单价分别是多少元？
(2)经九年级一班班委会商定,决定购买$A$,$B两种花苗共12$盆进行搭配装扮教室。种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学提供以下优惠：购买几盆$B$种花苗,$B$种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算一下,本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

答案： 解:
(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元,则$\begin{cases} 3x + 5y = 210, \\ 4x + 10y = 380, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 20, \\ y = 30, \end{cases}$答:A、B两种花苗的单价分别是20元和30元.
(2)设购买B花苗x盆,则购买A花苗为(12 - x)盆,设总费用为w元,由题意得:w = 20(12 - x)+(30 - x)x = - x² + 10x + 240(0 ≤ x ≤ 12),
∵ - 1 ＜ 0.故w有最大值,当x = 5时,w的最大值为265,当x = 12时,w的最小值为216.答:本次购买至少准备216元,最多准备265元.

2. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段$OE$表示水平的路面,以$O$为坐标原点,以$OE所在直线为x$轴,以过点$O垂直于x轴的直线为y$轴,建立平面直角坐标系。根据设计要求：$OE = 10\ m$,该抛物线的顶点$P到OE的距离为9\ m$。

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点$A$,$B$处分别安装照明灯。已知点$A$,$B到OE的距离均为6\ m$,求点$A$,$B$的坐标。

答案： 解:
(1)依题意,顶点P(5,9),设抛物线的函数表达式为$y=a(x - 5)^{2}+9$,将(0,0)代入,得$0=a(0 - 5)^{2}+9$,解得$a = -\frac{9}{25}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{9}{25}(x - 5)^{2}+9$.
(2)令y = 6,得$-\frac{9}{25}(x - 5)^{2}+9 = 6$.解得$x_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+5,x_{2}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}+5$.
∴$A\left( 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3},6 \right),B\left( 5 + \frac{5\sqrt{3}}{3},6 \right)$.