《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\odot O的直径AB = 4$,$P为\odot O$上的动点,连结$AP$,$Q为AP$的中点,若点$P$在圆上运动一周,则点$Q$经过的路径长是$2\pi$.

答案： $2\pi$

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 5$,$CB = 12$,$AD是\triangle ABC$的角平分线,过$A$,$C$,$D三点的圆与斜边AB交于点E$,连接$DE$.
(1)求证：$AC = AE$.
(2)求$\triangle ACD$外接圆的半径.

答案： 解:
(1)证明:$\because \angle ACB=90°$,
　$\therefore AD$为直径,$\therefore \angle AED=90°$
　$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线,$\therefore CD=DE$.
　$\because AD=AD$,$\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED$,
　$\therefore AC=AE$.
(2)$\because AC=5,CB=12$,
　$\therefore AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$.
　$\because AC=AE=5$,$\therefore BE=AB - AE=13 - 5=8$.
　$\because AD$为直径,$\therefore \angle AED=\angle ACB=90°$.
　设$DE=x$,则$CD=x$,$BD=12 - x$,$BD^2=8^2+x^2$.$\therefore (12 - x)^2=8^2+x^2$.解得$x=\frac{10}{3}$,即$DE=\frac{10}{3}$.故$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\frac{5}{3}\sqrt{13}$
　故$\triangle ACD$外接圆的半径为$\frac{5}{6}\sqrt{13}$

3. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$O为BC$的中点,以$BC为直径作\odot O$.
(1)当$\angle A$等于多少度时,点$A在\odot O$上？
(2)当$\angle A$等于多少度时,点$A在\odot O$内部？
(3)当$\angle A$等于多少度时,点$A在\odot O$外部？

答案： 1. （1）
解：连接$OA$，因为$AB = AC$，$O$为$BC$中点，所以$OA\perp BC$（等腰三角形三线合一）。
若点$A$在$\odot O$上，则$OA=\frac{1}{2}BC$（圆的半径）。
又因为$OB = OC=\frac{1}{2}BC$，所以$OA = OB$，$\triangle OAB$是等腰直角三角形，$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$。
根据三角形内角和$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，可得$\angle A=90^{\circ}$。
2. （2）
解：若点$A$在$\odot O$内部，则$OA\lt\frac{1}{2}BC$（圆的半径）。
因为$AB = AC$，$O$为$BC$中点，$OA\perp BC$，在$Rt\triangle OAB$中，$\angle B=\angle C$，$\tan B=\frac{OA}{OB}$，当$OA\lt OB$时，$\angle B\lt45^{\circ}$。
由$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，所以$\angle A\gt90^{\circ}$。
3. （3）
解：若点$A$在$\odot O$外部，则$OA\gt\frac{1}{2}BC$（圆的半径）。
因为$AB = AC$，$O$为$BC$中点，$OA\perp BC$，在$Rt\triangle OAB$中，$\tan B=\frac{OA}{OB}$，当$OA\gt OB$时，$\angle B\gt45^{\circ}$。
由$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，所以$\angle A\lt90^{\circ}$。
综上，（1）$\angle A = 90^{\circ}$；（2）$\angle A\gt90^{\circ}$；（3）$\angle A\lt90^{\circ}$。