《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 若抛物线 $ y = x ^ { 2 } - ( 2 k + 1 ) x + k ^ { 2 } + 2 $ 与 $ x $ 轴有两个交点,则整数 $ k $ 的最小值是2.

答案： 2

2. 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的图象如图所示,其对称轴为 $ x = 1 $,有如下结论：
① $ c ＞ 1 $；② $ 2 a + b = 0 $；③ $ b ^ { 2 } ＜ 4 a c $；④若方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的两个根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 $.
其中正确的结论是(A).

A.①②④
B.①③
C.②④
D.③④

答案： A

3. 若关于 $ x $ 的函数 $ y = k x ^ { 2 } + 2 x - 1 $ 与 $ x $ 轴仅有一个公共点,则实数 $ k $ 的值为-1或0.

答案： -1或0

4. 若二次函数 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象与 $ x $ 轴相交于 $ A ( - 5 , 0 ) , B ( - 1 , 0 ) $.
(1) 求这个二次函数的关系式.
(2) 如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移几个单位？

答案： 解:
(1)
∵图象与x轴交于$A(-5,0)$,$B(-1,0)$,
∴方程$-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c=0$的两个根是$x_{1}=-5$,$x_{2}=-1$.
∴$-\frac{1}{2}(x+5)(x+1)=0$,即$-\frac{1}{2}x^{2}-3x-\frac{5}{2}=0$,
∴$b=-3$,$c=-\frac{5}{2}$,
∴$y=-\frac{1}{2}x^{2}-3x-\frac{5}{2}$.
(2)向下平移2个单位.$y=-\frac{1}{2}x^{2}-3x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x+3)^{2}+2$,若使函数图象与x轴只有一个交点,则$k=0$,
∴应将此函数向下平移2个单位,此时函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)^{2}$.

已知如下表：


(1) 求 $ a , b , c $ 的值,并在表内空格处填入正确的数.
(2) 请你根据上面的结果判断：
① 是否存在实数 $ x $,使二次三项式 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 的值为 0？若存在,求出这个实数值；若不存在,请说明理由.
② 画出函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象示意图,由图象确定,当 $ x $ 取什么实数时,$ a x ^ { 2 } + b x + c ＞ 0 $？

答案：
解:
(1)由表格知:$y=ax^{2}$过点$(1,1)$,
∴$a=1$,$y=x^{2}+bx+c$的图象过$(0,3)$,$(2,3)$两点.
∴$\left\{\begin{array}{l}c=3\\4 + 2b + c = 3\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\c=3\end{array}\right.$,
∴$y=x^{2}-2x+3$,根据函数解析式,表格内从上到下依次填0,2,4.
(2)①不存在.因为方程$x^{2}-2x+3=0$的$\Delta = (-2)^{2}-4×1×3=-8＜0$,所以不存在实数x,使二次三项式$ax^{2}+bx+c$的值为0. ②画出函数$y=x^{2}-2x+3$的图象示意图如下: 由图象可知,当x取任意实数时,$ax^{2}+bx+c＞0$.