《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

3. 如图,已知抛物线 $ y = -x^{2} + mx + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $.

(1)求 $ m $ 的值及抛物线的顶点坐标.
(2)$ P $ 是抛物线的对称轴 $ l $ 上的一个动点,当 $ PA + PC $ 的值最小时,求点 $ P $ 的坐标.

答案： 解:
(1)把点B(3,0)的坐标代入抛物线$y=-x^{2}+mx+3$，得$0=-3^{2}+3m+3$，
解得$m = 2$.
$\therefore y=-x^{2}+2x+3=-(x - 1)^{2}+4$，
∴顶点坐标为$(1,4)$
(2)如答图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时$PA+PC$的值最小
设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$
$\because C(0,3)$，$B(3,0)$，$\therefore \begin{cases}0 = 3k + b\\3 = b\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 1\\b = 3\end{cases}$.
∴直线BC的解析式为$y=-x+3$
当$x = 1$时，$y=-1+3=2$.
∴当$PA+PC$的值最小时，点P的坐标为$(1,2)$

在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,则该抛物线关于点 $ C $ 成中心对称的抛物线的表达式为(A).
A.$ y = -x^{2} - 4x + 5 $
B.$ y = x^{2} + 4x + 5 $
C.$ y = -x^{2} + 4x - 5 $
D.$ y = -x^{2} - 4x - 5 $

答案： A