《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

5. 函数 $ y = a x - 2 ( a \neq 0 ) $ 与 $ y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $ 在同一直角坐标系中的图象可能是(A)。

答案： A

6. 若对任意实数 $ x $,二次函数 $ y = ( a + 1 ) x ^ { 2 } $ 的值总是非负数,则 $ a $ 的取值范围是(C)。
A.$ a \geq - 1 $
B.$ a \leq - 1 $
C.$ a ＞ - 1 $
D.$ a ＜ - 1 $

答案： C

7. 求符合下列条件的抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 的解析式。
(1) 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 经过点 $ ( - 2, 1 ) $。
(2) 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 与抛物线 $ y = \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } $ 的开口大小相等,开口方向相反。
(3) 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 与直线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + 3 $ 交于点 $ ( 2, m ) $。

答案： 解:
(1)将点$(-2,1)$代入$y=ax^{2}$中,
得$1=(-2)^{2}\cdot a,$
解得$a=\frac {1}{4},$
$\therefore y=\frac {1}{4}x^{2}.$
(2)由题意知$a=-\frac {2}{3},$
$\therefore y=-\frac {2}{3}x^{2}.$
(3)将$(2,m)$代入$y=\frac {1}{2}x+3$中,得$m=y=\frac {1}{2}×$
$2+3=4.$
将$(2,4)$代入$y=ax^{2}$中,得$4=2^{2}\cdot a,$
$\therefore a=1,y=x^{2}.$

1. 已知一次函数 $ y = a x + b $ 的图象上有两点 $ A, B $,它们的横坐标分别是 $ 3, - 1 $,若二次函数 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $ 的图象经过 $ A, B $ 两点。
(1) 请求出一次函数的表达式。
(2) 设二次函数图象的顶点为 $ C $,求 $ \triangle A B C $ 的面积。

答案： 解:
(1)设A点坐标为$(3,m)$,B点坐标为$(-1,n).$
∵A,B两点在$y=\frac {1}{3}x^{2}$的图象上,
$\therefore m=\frac {1}{3}×9=3,n=\frac {1}{3}×1=\frac {1}{3}.$
$\therefore A(3,3),B(-1,\frac {1}{3}).$
∵A,B两点在$y=ax+b$的图象上,
∴
$\left\{\begin{array}{l} 3=3a+b,\\ \frac {1}{3}=-a+b,\end{array}\right. $解得$a=\frac {2}{3},b=1.$
∴一次函数的表达式是$y=\frac {2}{3}x+1.$
(2)设直线AB与x轴的交点为D,则D点坐标为$(-\frac {3}{2},0)$.又$C(0,0)$
$\therefore |DC|=\frac {3}{2}.$
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}-S_{\triangle BDC}$
$=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}×3-\frac {1}{2}×\frac {3}{2}×\frac {1}{3}=\frac {9}{4}-\frac {1}{4}=2.$

2. 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为 $ v ( \mathrm { km } / \mathrm { h } ) $ 的汽车的刹车距离 $ s ( \mathrm { m } ) $ 可以由公式 $ s = \frac { 1 } { 100 } v ^ { 2 } $ 确定；雨天行驶时,这一公式为 $ s = \frac { 1 } { 50 } v ^ { 2 } $。
(1) 如果行车速度是 $ 70 \mathrm { km } / \mathrm { h } $,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比,刹车距离相差多少米？
(2) 如果行车速度分别是 $ 60 \mathrm { km } / \mathrm { h } $ 与 $ 80 \mathrm { km } / \mathrm { h } $,那么同在雨天行驶(相同的路面)相比,刹车距离相差多少？
(3) 根据上述两点分析,你想对司机师傅说些什么？

答案： 解:
(1)当$v=70km/h$时,
$s_{晴}=\frac {1}{100}v^{2}=\frac {1}{100}×70^{2}=49(m),$
$s_{雨}=\frac {1}{50}v^{2}=\frac {1}{50}×70^{2}=98(m),$
$\therefore s_{雨}-s_{晴}=98-49=49(m).$
答:刹车距离相差49 m.
(2)$v_{1}=80km/h,v_{2}=60km/h,$
$s_{1}=\frac {1}{50}v_{1}^{2}=\frac {1}{50}×80^{2}=128(m),$
$s_{2}=\frac {1}{50}v_{2}^{2}=\frac {1}{50}×60^{2}=72(m),$
$\therefore s_{1}-s_{2}=128-72=56(m).$
答:刹车距离相差56 m.
(3)在汽车速度相同的情况下,雨天的刹车距离要大于晴天的刹车距离.在同是雨天的情况下,汽车速度越大,刹车距离也就越大.请司机师傅一定要注意天气情况与车速.