《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 下列方程中(C)是关于 $ x $ 的一元二次方程.
A.$ 2x + 3 = \frac{1}{x} $
B.$ 2x^{3} + 4x = 1 $
C.$ x^{2} - 1 = 0 $
D.$ 3x^{2} - 2xy - 5y^{2} = 0 $

答案： C

2. 方程 $ (m - 1)x^{2} + mx + 1 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围为(C).
A.任何实数
B.$ m \neq 0 $
C.$ m \neq 1 $
D.$ m \neq -1 $

答案： C

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + 2a = 5 $ 的一个解是 $ x = -1 $,则 $ a $ 的值为(B).
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 1 $
D.$ \pm 2 $

答案： B

4. 若关于 $ x $ 的方程 $ kx^{2} + x = 3x^{2} + 1 $ 是一元二次方程,则 $ k $ 的取值范围是$ k \neq 3 $.

答案： $ k \neq 3 $

5. 数据 $ -3,-2,-1,0,1,2,3 $ 中,是方程 $ x^{2} - x - 2 = 0 $ 的根有-1,2.

答案： -1,2

6. 请你写出有一个根为 $ -2 $ 的一元二次方程:$ x^{2}+2x=0 $.

答案： $ x^{2}+2x=0 $(答案不唯一)

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 3)x^{2} + 2x + a^{2} - 9 = 0 $ 的常数项为 $ 0 $,则 $ a $ 的值为-3.

答案： -3

8. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $ \frac{1}{2}x^{2} - x = 2 $;
(2) $ 2x - 4 = x^{2} $;
(3) $ \frac{x^{2}}{3} - \frac{x - 1}{2} = \frac{-x - 1}{2} $.

答案：
(1)解:$ \frac{1}{2}x^{2}-x-2=0 $,二次项系数为$ \frac{1}{2} $,一次项系数为-1,常数项为-2.
(2)解:$ x^{2}-2x+4=0 $,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为4.
(3)解:$ \frac{x^{2}}{3}+1=0 $,二次项系数为$ \frac{1}{3} $,一次项系数为0,常数项为1.

1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 2)x^{2} + 3x + m^{2} - 4 = 0 $ 有一个解是 $ 0 $,求 $ m $ 的值.

答案： 解:把$ x=0 $代入$ (m-2)x^{2}+3x+m^{2}-4=0 $中得:$ m^{2}-4=0 $,$ m=\pm 2 $.
∵$ m=2 $,$ 3x=0 $不是一元二次方程,
∴舍去.
综上,$ m=-2 $.

2. 杨昊在做作业时,不小心把方程 $ 3x^{2} $ ■ $ x - 5 = 0 $ 的一次项系数用墨水覆盖住了,但他知道方程的一个根是 $ x = 5 $, 请你帮助杨昊求出被覆盖的系数.

答案： 解:设被覆盖的数是$ a $.
把$ x=5 $代入$ 3x^{2}+ax-5=0 $,得$ 75+5a-5=0 $,解得$ a=-14 $.

3. 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1) $ x^{2} - 64 = 0 $;
(2) $ 3x^{2} - 6 = 0 $.

答案：
(1)$ x_{1}=8 $,$ x_{2}=-8 $
(2)$ x_{1}=\sqrt{2} $,$ x_{2}=-\sqrt{2} $

4. 如图是一张长 $ 9 cm $、宽 $ 5 cm $ 的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方形,可制成一个底面积是 $ 12 cm^{2} $ 的无盖长方体纸盒,设剪去的正方形边长为 $ x cm $,依据题意列出关于 $ x $ 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.

答案： 解:$ (9-2x)(5-2x)=12 $,$ 45-18x-10x+4x^{2}=12 $,$ 4x^{2}-28x+33=0 $.