《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 已知方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $,则此方程(C)。
A.无实数根
B.两根之和为$-2$
C.两根之积为$-1$
D.有一根为$-1 + \sqrt{2}$

答案： C

2. 如果 $ x = 3 $ 是方程 $ x^{2}+ax - 12 = 0 $ 的一个根,那么另一个根是(B)。
A.$ 4 $
B.$ -4 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： B

3. 若方程 $ 3x^{2}-6x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围在数轴上表示正确的是(B)。

答案： B

4. 用适当的方法解方程：
(1) $ x^{2}-10x + 9 = 0 $；
(2) $ 4x^{2}-12x = 135 $；
(3) $ 3x^{2}-6x + 1 = 0 $；
(4) $ x^{2}-4x - 12 = 0 $；
(5) $ 2(x - 3)^{2}= 5(3 - x) $；
(6) $ (3x + 2)(x + 3)= x + 14 $。

答案：
(1)解：$(x-9)(x-1)=0$$x_{1}=9,x_{2}=1$
(2)解：$(2x)^{2}-2×2x×3+9=144$$(2x-3)^{2}=144$$2x-3=12,2x-3=-12$$2x=15,2x=-9$$x_{1}=\frac {15}{2},x_{2}=-\frac {9}{2}$
(3)解：$\Delta =(-6)^{2}-4×3×1=36-12=24$$x=\frac {6\pm \sqrt {24}}{6}=\frac {6\pm 2\sqrt {6}}{6}=\frac {3\pm \sqrt {6}}{3}$$x_{1}=\frac {3+\sqrt {6}}{3},x_{2}=\frac {3-\sqrt {6}}{3}$
(4)解：$x^{2}-4x=12$$x^{2}-4x+4=16$$(x-2)^{2}=16$$x-2=4,x-2=-4$$x_{1}=6,x_{2}=-2$
(5)解：$2(x-3)^{2}-5(3-x)=0$$(x-3)[2(x-3)+5]=0$$(x-3)(2x-1)=0$$x_{1}=3,x_{2}=\frac {1}{2}$
(6)解：$3x^{2}+9x+2x+6-x-14=0$$3x^{2}+10x-8=0$$\Delta =10^{2}-4×3×(-8)=100+96=196$$x=\frac {-10\pm \sqrt {196}}{6}=\frac {-10\pm 14}{6}$$x_{1}=-4,x_{2}=\frac {2}{3}$

1. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $,甲把一次项系数看错了,解得方程两根为$-3和5$,乙把常数项看错了,解得方程两根为$2和2$,则原方程是$x^{2}-4x-15=0$。

答案： $x^{2}-4x-15=0$

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 1 = 0 $($ a \neq 0 $)有两个相等的实数根,求 $ \frac{ab^{2}}{(a - 2)^{2}+b^{2}-4} $ 的值。

答案： 解：
∵关于x的方程$ax^{2}+bx+1=0(a≠0)$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta =b^{2}-4a=0,\therefore b^{2}=4a,$$\therefore \frac {ab^{2}}{(a-2)^{2}+b^{2}-4}=\frac {4a^{2}}{a^{2}-4a+4+4a-4}=4.$

3. 在等腰 $ \triangle ABC $ 中,三边分别为 $ a,b,c $,其中 $ a = 5 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(b + 2)x + 6 - b = 0 $ 有两个相等的实数根,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

答案： 解：
∵关于x的方程$x^{2}-(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta =(b+2)^{2}-4(6-b)=0,$即$b^{2}+8b-20=0$,解得$b=2,b=-10$(舍去).①当a为底,b为腰时,则$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立；②当b为底,a为腰时,则$5-2＜5＜5+2$,能构成三角形,此时$\triangle ABC$的周长是$5+5+2=12.$答：$\triangle ABC$的周长是12.

已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}= 2(1 - m)x - m^{2} $ 的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $。
(1) 求 $ m $ 的取值范围。
(2) 设 $ y = x_{1}+x_{2} $,当 $ y $ 取得最小值时,求相应 $ m $ 的值,并求出 $ y $ 的最小值。

答案：
(1)将原方程整理为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0,$
∵原方程有两个实数根，$\therefore \Delta =4(m-1)^{2}-4m^{2}=-8m+4\geq 0$，解得$m\leq \frac {1}{2}.$
(2)
∵$x_{1},x_{2}$为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$的两根，$\therefore y=x_{1}+x_{2}=-2m+2$,且$m\leq \frac {1}{2}.$$\because -2＜0,$
∴y随m的增大而减小，故当$m=\frac {1}{2}$时,y取得最小值1.