《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = mx^{2} + 2x - 1 $ 的图象有最高点且最高点的纵坐标是零,则 $ m = $-1.

答案： -1

2. 将 $ y = 2x^{2} $ 的函数图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得到二次函数解析式为$y=2x^{2}+12x+20$.

答案： $y=2x^{2}+12x+20$

3. 二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 3x + \frac{5}{2} $ 的图象是由函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的.

答案： 右 3 下 2

4. 将抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + 5 $ 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,则平移后的抛物线的函数关系式是$y=-x^{2}-6x-4$.

答案： 1. 首先，将原抛物线$y = -x^{2}+2x + 5$化为顶点式：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，对于$y=-x^{2}+2x + 5$，$y=-(x^{2}-2x)+5$，$y=-(x^{2}-2x + 1-1)+5$。
则$y=-(x - 1)^{2}+1 + 5$，即$y=-(x - 1)^{2}+6$。
2. 然后，根据平移规律：
抛物线平移规律为“上加下减常数项，左加右减自变量”。
先向下平移$1$个单位，根据“上加下减常数项”，则$y=-(x - 1)^{2}+6-1$，即$y=-(x - 1)^{2}+5$。
再向左平移$4$个单位，根据“左加右减自变量”，把$x$换成$x + 4$，则$y=-((x + 4)-1)^{2}+5$。
3. 最后，化简函数关系式：
对$y=-((x + 4)-1)^{2}+5$进行化简，$y=-(x + 3)^{2}+5$。
展开$(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$，则$y=-(x^{2}+6x + 9)+5$。
进一步得到$y=-x^{2}-6x-9 + 5$，即$y=-x^{2}-6x - 4$。
故平移后的抛物线的函数关系式是$y=-x^{2}-6x - 4$。

5. 在同一个直角坐标系中,一次函数 $ y = ax + c $ 与二次函数 $ y = ax^{2} + c $ 的图象大致为(B).

答案： B

6. 某农场种植一种蔬菜,销售员根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象,你能得到关于这种蔬菜的哪些信息？

答案： 解:如7月份售价最低，每千克售0.5元;1~7月份，该蔬菜的销售价随着月份的增加而降低，7~12月份的销售价随月份的增加而上升;2月份的销售价为每千克3.5元;3月份与11月份的销售价相同.

1. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} - 2m - 3 $ 的图象与函数 $ y = -x^{2} + 6x $ 的图象交于 $ y $ 轴一点,则 $ m = $3或 - 1.

答案： 3或 - 1

2. 把二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^{2} - 1 $ 的图象.
(1)试确定 $ a,h,k $ 的值.
(2)指出二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： 解:
(1)由题意知，图象平移后解析式为:$y=a(x - h + 2)^{2}+k + 4$与$y=\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-1$是同一个图象.
$\therefore \begin{cases}a=\frac{1}{2}\\2 - h = 1\\k + 4 = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\h = 1\\k = - 5\end{cases}$.
(2)开口向上，对称轴:直线$x = 1$，顶点坐标:$(1, - 5)$.