《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = - 2 x ^ { 2 } $ 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴是y轴,顶点坐标是$(0,0)$。

答案： 下 y轴$(0,0)$

2. 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $ 的图象经过点 $ ( 2, - 4 ) $,则 $ a = $-1。

答案： -1

3. 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $ 的图象经过点 $ ( a, 8 ) $,则 $ a = $2。

答案： 2

4. 若抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 与抛物线 $ y = 3 x ^ { 2 } $ 形状相同,则 $ a = $$\pm 3$。

答案： $\pm 3$

5. 写出一个开口向上,顶点是坐标原点的二次函数的表达式：$y=2x^{2}$(答案不唯一)。

答案： $y=2x^{2}$(答案不唯一)

6. 二次函数 $ y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $,当 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ 0 $ 时,$ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的大小关系为$y_{1}\lt y_{2}$。

答案： 1. 首先分析二次函数$y =-\frac{1}{4}x^{2}$的性质：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），在$y =-\frac{1}{4}x^{2}$中，$a =-\frac{1}{4}\lt0$，$b = 0$，$c = 0$。
其对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=0$（根据对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}$）。
因为$a\lt0$，所以二次函数$y =-\frac{1}{4}x^{2}$的图象开口向下。
2. 然后根据函数单调性：
当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大（对于开口向下的二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\lt0)$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大）。
已知$x_{1}\lt x_{2}\lt0$，根据上述单调性可知$y_{1}\lt y_{2}$。
故答案为$y_{1}\lt y_{2}$。

7. 抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $ 不具有的性质是(C)。
A.开口向下
B.对称轴是 $ y $ 轴
C.与 $ y $ 轴不相交
D.最高点是坐标原点

答案： C

8. 下列说法中错误的是(C)。
A.二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } $ 中,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.二次函数 $ y = - 6 x ^ { 2 } $ 中,当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值 $ 0 $
C.二次函数 $ y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $ 中,$ a $ 越大图象开口越小,$ a $ 越小图象开口越大
D.不论 $ a $ 是正数还是负数,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $ 的顶点一定是坐标原点

答案： C

9. 已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 经过点 $ A ( - 2, 8 ) $。
(1) 求 $ a $ 的值。
(2) 判断点 $ B ( - 1, - 4 ) $ 是否在此抛物线上。
(3) 若点 $ C ( m, 6 ) $ 在此抛物线上,求 $ m $ 的值。

答案： 解:
(1)把$A(-2,8)$代入$y=ax^{2}$中,
有$8=4a$,解得$a=2.$
(2)不在.
将$x=-1$代入$y=2x^{2}$中,得$y=2≠4,$
∴点$B(-1,-4)$不在此抛物线上.
(3)将$C(m,6)$代入$y=2x^{2}$中,有$6=2m^{2},$
$\therefore m^{2}=3,m=\pm \sqrt {3}.$

1. 函数 $ y = k x ^ { k ^ { 2 } - k } $,当 $ k = $-1时,它的图象是开口向下的抛物线；此时,当 $ x $＞ 0时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： -1 ＞ 0

2. 直线 $ y = x $ 与抛物线 $ y = - 2 x ^ { 2 } $ 的交点是(C)。
A.$ \left( \frac { 1 } { 2 }, 0 \right) $
B.$ \left( - \frac { 1 } { 2 }, - \frac { 1 } { 2 } \right) $
C.$ \left( - \frac { 1 } { 2 }, - \frac { 1 } { 2 } \right), ( 0, 0 ) $
D.$ ( 0, 0 ) $

答案： C

3. 下列函数中,具有过原点且当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而减小这两个特征的有(B)。
① $ y = - a x ^ { 2 } ( a ＞ 0 ) $；② $ y = ( a - 1 ) x ^ { 2 } ( a ＜ 1 ) $；
③ $ y = - 2 x + a ^ { 2 } ( a \neq 0 ) $；④ $ y = \frac { 1 } { 5 } x - a $。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

4. 如图是函数① $ y = a x ^ { 2 } $；② $ y = b x ^ { 2 } $；③ $ y = c x ^ { 2 } $；④ $ y = d x ^ { 2 } $ 的图象,比较 $ a, b, c, d $ 的大小,用“＞”连接：$a＞b＞d＞c$。

答案： $a＞b＞d＞c$