《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = x^{2} - 2x + 6 $ 的最小值是5；抛物线 $ y = - 2x^{2} + 6x + 1 $ 的图象顶点坐标为$\left( \dfrac{3}{2},\dfrac{11}{2} \right)$,当 $ x = $$\dfrac{3}{2}$时,$ y $ 的值最大。

答案： 1. 对于二次函数$y = x^{2}-2x + 6$：
利用顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$），$a = 1$，$h =-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c = 6$。
先求$h$：$h=-\frac{-2}{2×1}=1$。
再求$k$：$k=\frac{4×1×6-(-2)^{2}}{4×1}=\frac{24 - 4}{4}=\frac{20}{4}=5$。
因为$a = 1\gt0$，所以二次函数$y=x^{2}-2x + 6$的最小值是$5$。
2. 对于抛物线$y=-2x^{2}+6x + 1$：
同样根据顶点坐标公式$(h,k)$，$a=-2$，$b = 6$，$c = 1$。
求$h$：$h=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$。
求$k$：$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-2)×1-6^{2}}{4×(-2)}=\frac{-8 - 36}{-8}=\frac{-44}{-8}=\frac{11}{2}$。
因为$a=-2\lt0$，所以当$x = h=\frac{3}{2}$时，$y$的值最大，顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{11}{2})$。
故答案依次为：$5$；$(\frac{3}{2},\frac{11}{2})$；$\frac{3}{2}$。

2. 已知等腰三角形的面积 $ S $ 与底边 $ x $ 有如下关系：$ S = - 5x^{2} + 10x + 14 $,要使 $ S $ 有最大值,则 $ x = $1。

答案： 1

3. 已知一个直角三角形两直角边之和是 $ 24 \mathrm{cm} $,则这个直角三角形的最大面积是$72\ cm^2$。

答案： $72\ cm^2$

4. 周长为 $ 16 \mathrm{cm} $ 的矩形的最大面积为16$ \mathrm{cm}^{2} $,此时矩形的长为4$ \mathrm{cm} $,宽为4$ \mathrm{cm} $。

答案： 16 4 4

5. 如图,直角边长为 $ 10 \mathrm{cm} $ 的等腰直角三角形 $ ABC $ 以 $ 2 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $ 的速度沿直线 $ l $ 向正方形移动,直到 $ AB $ 与 $ CD $ 重合。设运动 $ x $ 秒时,三角形与正方形重合部分的面积为 $ y \mathrm{cm}^{2} $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式。
(2)当 $ x = 2.5,3 $ 时,$ y $ 分别是多少？
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？

答案： 解:
(1)
∵三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形,且直角边都是$2x$,
$\therefore y=2x^2(0 ＜ x \leq 5)$
(2)当$x=2.5$时,$y=2× 2.5^2=12.5$,
当$x=3$时,$y=2× 3^2=18$.
(3)因为当$y=50$时,$2x^2=50$,所以$x_1=5$,
$x_2=-5$(不合题意,舍去),当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了5 s.

1. 用长为 $ 8 \mathrm{m} $ 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是(B)。

A.$ \frac{4}{3} \mathrm{m}^{2} $
B.$ \frac{8}{3} \mathrm{m}^{2} $

C.$ 4 \mathrm{m}^{2} $
D.$ \frac{64}{25} \mathrm{m}^{2} $

答案： B

2. 已知平行四边形 $ ABCD $ 的周长为 $ 8 \mathrm{cm} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,若边长 $ AB = x \mathrm{cm} $,则：

(1)平行四边形 $ ABCD $ 的面积 $ y(\mathrm{cm}^{2}) $ 与 $ x $ 的函数关系式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x$,自变量 $ x $ 的取值范围为$0 ＜ x ＜ 4$。
(2)当 $ x $ 取2时,$ y $ 的值最大,最大值为2。

答案： 1. 首先求平行四边形的高：
已知$\angle B = 30^{\circ}$，$AB=x\mathrm{cm}$，平行四边形$ABCD$的周长为$8\mathrm{cm}$，则$BC=(4 - x)\mathrm{cm}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，过$A$作$AE\perp BC$于$E$，在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\frac{1}{2}AB$（$30^{\circ}$角所对直角边的性质），$AE = \frac{1}{2}x$。
2. 然后求面积$y$与$x$的函数关系式：
根据平行四边形面积公式$y = BC\cdot AE$，$BC=(4 - x)$，$AE=\frac{1}{2}x$，则$y=(4 - x)\cdot\frac{1}{2}x$。
展开得$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$。
因为$AB\gt0$，$BC = 4 - x\gt0$（边长大于$0$），所以$0\lt x\lt4$。
3. 接着求函数$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$的最值：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a =-\frac{1}{2}$，$b = 2$，$c = 0$。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，则$x=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{2})}=2$。
把$x = 2$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$得：$y=-\frac{1}{2}×2^{2}+2×2$。
先计算$-\frac{1}{2}×2^{2}=-2$，$2×2 = 4$，所以$y=-2 + 4=2$。
(1) 函数关系式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，自变量$x$的取值范围为$0\lt x\lt4$；
(2) 当$x = 2$时，$y$的值最大，最大值为$2$。

3. 将一根长 $ 20 \mathrm{cm} $ 的铁丝剪成两段,并以每段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,若设其中一段为 $ x \mathrm{cm} $,两个正方形的面积之和为 $ y \mathrm{cm}^{2} $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2)当 $ x $ 为何值时,$ y $ 有最小值,最小值为多少？

答案： 解:
(1)若其中一段为$x\ cm$,则另一段为$(20-x)\ cm$,
$y=\left( \dfrac{1}{4}x \right)^2+\left \lbrack \dfrac{(20-x)}{4} \right\rbrack^2$
$=\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{1}{16}(x-20)^2=\dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{5}{2}x+25$.
(2)$y=\dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{5}{2}x+25=\dfrac{1}{8}(x-10)^2+\dfrac{25}{2}$,
$a=\dfrac{1}{8} ＞ 0$,抛物线开口向上,
$\therefore$当$x=10$时,$y$有最小值$\dfrac{25}{2}$.