《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

5. (1) 如图 1,是一个残缺的圆,请做出残缺圆的圆心 O(保留作图痕迹,不写做法).
(2) 如图 2,设 AB 是该残缺圆⊙O 的直径,C 是圆上一点,∠CAB 的角平分线 AD 交⊙O 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线交 AC 的延长线于点 E.
① 求证：AE⊥DE.
② 若 DE = 3,AC = 2,求残缺圆的半圆面积.

答案：

(1)点$O$即为所求。
　　　　　　
(2)①证明:连接$OD$交$BC$于$H$。
$\because AB$是该残缺圆$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\because DE$为$\odot O$的切线，
$\therefore OD\perp DE$。
$\because AD$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAD = \angle DAB$。
$\because OD = OA$，
$\therefore \angle DAB = \angle ODA = \angle CAD$。
$\therefore OD// AE$。
$\therefore AE\perp DE$。
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\because OD// AE$，
$\therefore OD\perp BC$。
$\therefore BC = 2CH$。
$\therefore$四边形$CEDH$为矩形。
$\because DE = 3$，
$\therefore CH = ED = 3$，$\therefore BC = 6$
　　　　　　
$\because AC = 2$，
$\therefore AB = 2\sqrt{10}$，
$\therefore AO = \sqrt{10}$，
$\therefore S_{半圆}=\frac{1}{2}\pi\cdot AO^{2}=5\pi$。

6. 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2} - (k + 4)x + 4k = 0的两个实数根为x_{1}$,$x_{2}$,若 Rt△ABC 的斜边为 5,另外两条边的长恰好是方程的两个根$x_{1}$,$x_{2}$,求 Rt△ABC 的内切圆半径.

答案：
解:解方程$x^{2}-(k + 4)x + 4k = 0$得：$x_{1} = 4$，$x_{2} = k$，
根据题意得：$4^{2} + k^{2} = 5^{2}$，即$k = 3$，
设直角三角形$ABC$的内切圆半径为$r$，如图，
由切线长定理可得：$(3 - r)+(4 - r)=5$，
$\therefore$直角三角形$ABC$的内切圆半径$r = \frac{3 + 4 - 5}{2}=1$。
　　　　　　

如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,以 AB 为直径作⊙O,点 D 为⊙O 上一点,且 CD = CB,连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E.
(1) 判断直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.
(2) 若 BE = 2,DE = 4,求圆的半径及 AC 的长.

答案：

(1)连接$CO$，
　　　　　　
$\because$点$D$在圆上，
$\therefore OD = OB$，$\because CD = CB$，$CO = CO$，
$\therefore \triangle COD\cong\triangle COB(SSS)$，$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle D = \angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore OD\perp DC$，
$\therefore$直线$CD$与$\odot O$相切。
(2)设$OD = OB = x$，
$\because DE = 4$，
$\therefore OE = 4 - x$，在$Rt\triangle OBE$中，$BE^{2} + BO^{2} = OE^{2}$，
即$2^{2} + x^{2} = (4 - x)^{2}$，解得$x = 1.5$，
$\therefore OD = OB = 1.5$，$AB = 2OB = 3$，
$\because CB$，$CD$是圆的切线，
$\therefore$设$CB = CD = y$，在$Rt\triangle CDE$中，$CD^{2} + DE^{2} = CE^{2}$，即$y^{2} + 4^{2} = (y + 2)^{2}$，解得$y = 3$，
$\therefore BC = 3$，在$Rt\triangle ABC$中，
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 3\sqrt{2}$。