《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 下列命题中,正确的是(C)。
A.两个等腰三角形一定是形状相同的图形
B.两个面积相等的三角形一定是形状相同的图形
C.两个等腰直角三角形一定是形状相同的图形
D.两个直角三角形一定是形状相同的图形

答案： C

2. 若正方形 $ABCD$ 与正方形 $EFGH$ 相似,并且它们的相似比为 $2:3$,则 $EF:AB$ 为(D)。
A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$3:2$

答案： D

3. 已知 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 是两个相似三角形,若 $\angle A = 50^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle D = 60^{\circ}$,则 $\angle E$ 的度数可以是 $50^{\circ}$或$70^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$或$70^{\circ}$

4. 如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,求 $x$,$y$,$\alpha$。

答案： 在四边形$ABCD$中,$\angle A=30^{\circ}$,$\angle B=120^{\circ}$,$\angle D=130^{\circ}$,则$\angle C=80^{\circ}$,所以$\alpha=80^{\circ}$.由于$AB$和$GH$是对应边,所以$x=6.4$,$y=9.6$.

1. 如图,正五边形 $FGHMN$ 与正五边形 $ABCDE$ 相似,若 $AB:FG = 2:3$,则下列结论正确的是(B)。

A.$2DE = 3MN$
B.$3DE = 2MN$
C.$3\angle A = 2\angle F$
D.$2\angle A = 3\angle F$

答案： B

2. 在比例尺为 $1:2000$ 的地图上测得 $A$,$B$ 两地间的图上距离为 $5\ cm$,则 $A$,$B$ 两地间的实际距离为100$m$。

答案： 100

3. 如图,在长为 $8\ cm$、宽为 $4\ cm$ 的矩形中截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是(C)。

A.$2\ cm^{2}$
B.$4\ cm^{2}$
C.$8\ cm^{2}$
D.$16\ cm^{2}$

答案： C

1. 若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似,则此矩形的长边与短边的比是(C)。
A.$2:1$
B.$4:1$
C.$\sqrt{2}:1$
D.$1:\sqrt{2}$

答案： C

2. 如图所示,把矩形 $ABCD$ 对折,折痕为 $MN$,矩形 $DMNC$ 与矩形 $ABCD$ 相似,已知 $AB = 4$。
(1)求 $AD$ 的长。
(2)求矩形 $DMNC$ 与矩形 $ABCD$ 的相似比。

答案： （1）
解：
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，所以$\frac{DM}{AB}=\frac{DC}{AD}$。
已知$AB = CD = 4$，$DM=\frac{1}{2}AD$。
设$AD = x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，代入$\frac{DM}{AB}=\frac{DC}{AD}$可得：$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$。
交叉相乘得：$\frac{1}{2}x^{2}=16$，即$x^{2}=32$。
解得$x = 4\sqrt{2}$（$x=-4\sqrt{2}$舍去，因为边长不能为负）。
所以$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
（2）
解：
相似比$k=\frac{DM}{AB}$。
因为$DM=\frac{1}{2}AD = 2\sqrt{2}$，$AB = 4$。
所以$k=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。