《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x+k = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是(A).
A.$ k ＜ 1 $
B.$ k ＞ 1 $
C.$ k = 1 $
D.$ k \geqslant 0 $

答案： A

2. 下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是(B).
A.$ x^{2}+1 = 0 $
B.$ x^{2}-3x+1 = 0 $
C.$ x^{2}-2x+1 = 0 $
D.$ x^{2}+2x+3 = 0 $

答案： B

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+x+1 = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是$ m \leq \frac{5}{4} $且$ m \neq 1 $.

答案： $ m \leq \frac{5}{4} $且$ m \neq 1 $

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(4k - 2)x+4k^{2} = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的最大整数值为0.

答案： 0

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+3 = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的值可以为4(答案不唯一).

答案： 4(答案不唯一)

6. 定义运算：$ m☆n = mn^{2}-mn - 1 $.例如 $ 4☆2 = 4×2^{2}-4×2 - 1 = 7 $.则方程 $ 1☆x = 0 $ 的根的情况为(A).
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： A

7. 不解方程判断下列方程根的情况.
(1) $ x^{2}-4x - 7 = 0 $;
(2) $ 2x^{2}-2\sqrt{2}x+1 = 0 $;
(3) $ x^{2}+17 = 8x $.

答案：
(1)$ b^{2}-4ac=44＞0 $.方程有两个不相等的实数根.
(2)$ b^{2}-4ac=0 $.方程有两个相等的实数根.
(3)$ b^{2}-4ac=-4＜0 $.方程无实数根.

1. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+1 = 0 $.
(1) 当 $ b = a + 2 $ 时,利用根的判别式判断方程根的情况.
(2) 若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 $ a,b $ 的值,并求此时方程的根.

答案： 解:
(1)$ a \neq 0 $,
$ \Delta =b^{2}-4ac=(a+2)^{2}-4a=a^{2}+4a+4-4a=a^{2}+4 $,
$ \because a^{2}＞0 $,
$ \therefore \Delta =b^{2}-4ac＞0 $,
$ \therefore $方程有两个不相等的实数根.
(2)$ \because $方程有两个相等的实数根,
$ \therefore \Delta =b^{2}-4ac=0 $,
若$ b=2,a=1 $,则方程变形为$ x^{2}+2x+1=0 $,
解得$ x_{1}=x_{2}=-1 $.