《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论中正确的个数是(D).
①AD⊥BC；②∠EDA= ∠B；③$OA= \frac{1}{2}AC$；④DE是⊙O的切线.

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

2. 如图,在⊙O中,AB切⊙O于点A,连接OB交⊙O于点C,过点A作AD//OB交⊙O于点D,连接CD.若∠B= 50°,则∠OCD为(B).

A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

答案： B

3. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,以AB为直径作⊙O交AC于点D,E是边BC的中点,连接DE.求证：直线DE是⊙O的切线.

答案：
证明:连接BD,OD,
∵AB为直径,则∠ADB=90°.又
∵E是BC的中点,
∴DE是直角三角形BDC的斜边上的中线
∵∠DBO+∠DBC=∠ABC=90°
∴CE=DE=BE,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∵∠DBO+∠DBC=90°,
∴∠BDE+∠BDO=90°,
∴OD⊥DE,又
∵OD为半径,
∴直线DE为圆O的切线.

4. 已知：如图,P是∠AOB的角平分线OC上一点.PE⊥OA于E.以P点为圆心,PE长为半径作⊙P.
求证：⊙P与OB相切.

答案：
证明:过P作PH⊥BO于点H,
∵P在角平分线OC上,且PE⊥OA,PH⊥OB,
∴PH=PE.
∵E在圆上,
∴PE为半径,
∴PH的长等于半径,又
∵PH⊥OB,
∴$\odot P$与OB相切.

1. 如图,正方形ABCD的边长为4,⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为$3\sqrt{2}+1$.

答案： $3\sqrt{2}+1$

2. 如图,⊙O的直径AB= 4,C为圆周上一点,AC= 2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.
(1)求∠AEC的度数.
(2)求证：四边形OBEC是菱形.

答案： 解:
(1)在△AOC中,AC=2,
∵AO=OC=2,
∴△AOC是等边三角形.
∴∠AOC=60°.
∴∠AEC=30°.
(2)证明:
∵l与$\odot O$相切于点C,
∴OC⊥l,又
∵BD⊥l,
∴OC//BD,
∴∠ABD=∠AOC=60°.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠EAB=30°=∠AEC.
∴CE//AB,
∴四边形OBEC为平行四边形.又OB=OC=2,
∴四边形OBEC是菱形.