《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

1. 如图是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是 $ 1 \mathrm { m } $,拱桥的跨度为 $ 10 \mathrm { m } $,桥洞与水面的最大距离是 $ 5 \mathrm { m } $,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 $ 4 \mathrm { m } $ 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中,则两盏景观灯之间的水平距离是(C).

A.$ 3 \mathrm { m } $
B.$ 4 \mathrm { m } $
C.$ 5 \mathrm { m } $
D.$ 6 \mathrm { m } $

答案： C

2. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,如图所示,两小孔形状、大小都相同,正常水位时,大孔水面宽度 $ AB = 20 \mathrm { m } $,顶点 $ M $ 距水面 $ 6 \mathrm { m } $(即 $ MO = 6 \mathrm { m } $),小孔顶点 $ N $ 距水面 $ 4.5 \mathrm { m } $(即 $ NC = 4.5 \mathrm { m } $),当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度 $ EF $.

答案： 解:设抛物线解析式为$y=ax^{2}+6$,依题意,得$B(10,0)$,$\therefore ax10^{2}+6=0$,解得$a=-0.06$,即$y=-0.06x^{2}+6$.当$y=4.5$时,$-0.06x^{2}+6=4.5$,解得$x=\pm 5$,$\therefore DF=5$,$EF=10$,即水面宽度为10m.

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为 $ 6 $ 米,宽度 $ OM $ 为 $ 12 $ 米,现在以 $ O $ 点为原点,$ OM $ 所在直线为 $ x $ 轴建立直角坐标系(如图所示).

(1)直接写出点 $ M $ 及抛物线顶点 $ P $ 的坐标.
(2)求出这条抛物线的函数解析式.
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”$ ABCD $,使 $ A $,$ D $ 点在抛物线上,$ B $,$ C $ 点在地面 $ OM $ 上.为了筹备材料,需求出“脚手架”的三根木杆 $ AB $,$ AD $,$ DC $ 的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下.

答案： 解:
(1)$M(12,0)$,$P(6,6)$.
(2)设这条抛物线的函数解析式为$y=a(x-6)^{2}+6$,
∵抛物线过$O(0,0)$,$\therefore a(0-6)^{2}+6=0$,解得$a=-\frac{1}{6}$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+6$,即$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x$.
(3)设点A的坐标为$\left(m,-\frac{1}{6}m^{2}+2m\right)$,$\therefore OB=m$,$AB=DC=-\frac{1}{6}m^{2}+2m$,根据抛物线的对称性,可得$CM=OB=m$,$\therefore BC=12-2m$,即$AD=12-2m$.$\therefore AB+AD+DC=-\frac{1}{6}m^{2}+2m+12-2m-\frac{1}{6}m^{2}+2m=-\frac{1}{3}m^{2}+2m+12=-\frac{1}{3}(m-3)^{2}+15$.$\therefore$当$m=3$,即$OB=3$米时,三根木杆长度之和最大,最大值为15米.