《2025年学习之友九年级数学上册人教版》

2. 求证：不论 $ m $ 为何值,关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-(4m - 1)x - m^{2}-m = 0 $ 总有两个不相等的实数根.

答案： 证明:$ \Delta =[-(4m-1)]^{2}-8(-m^{2}-m)=16m^{2}-8m+1+8m^{2}+8m=24m^{2}+1 $.
$ \because $无论$ m $为何值,$ 24m^{2}+1 \geq 1 $,
$ \therefore \Delta ＞0 $,因此该方程总有两个不相等的实数根.

3. 已知 $ a,b,c $ 为三角形的三边长,且关于 $ x $ 的方程 $ bx^{2}+(a + b)x+a = 0 $ 有两个相等的实数根,试判断这个三角形的形状.

答案： 解:$ \because $关于$ x $的方程$ bx^{2}+(a + b)x+a = 0 $有两个相等的实数根,
$ \therefore \Delta =(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}=0 $.
$ \therefore a=b $.
$ \therefore $这个三角形为等腰三角形.

已知 $ □ ABCD $ 的两边 $ AB,AD $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4} = 0 $ 的两个实数根.
(1) 当 $ m $ 为何值时,四边形 $ ABCD $ 是菱形？求出这时菱形的边长.
(2) 若 $ AB $ 的长为 $ 2 $,那么 $ □ ABCD $ 的周长是多少？

答案： 解:
(1)$ \because $四边形$ ABCD $是菱形,
$ \therefore AB=AD $.
$ \therefore \Delta =m^{2}-4\left( \frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right)=0 $,解得$ m=1 $.
把$ m=1 $代入$ x^{2}-mx+\left( \frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right)=0 $,得$ x^{2}-x+\frac{1}{4}=0 $,
解得$ x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2} $.
$ \therefore $当$ m=1 $时,四边形$ ABCD $是菱形,此时菱形的边长是$ \frac{1}{2} $.
(2)若$ AB=2 $,则把$ x=2 $代入$ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 $,
得$ 4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 $,解得$ m=\frac{5}{2} $.
把$ m=\frac{5}{2} $代入$ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 $,得$ x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0 $,
解得$ x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2} $.
$ \therefore AD=\frac{1}{2} $.
$ \therefore □ ABCD $的周长是$ 2× \left( 2+\frac{1}{2} \right)=5 $.