《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

例1 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边分别为a$,$b$,$c$.
(1)如果$a = 6$,$b = 8$,那么$c= $10.
(2)如果$b = 4$,$c = 5$,那么$a= $3.
(3)如果$a:b = 3:4$,$c = 20$,那么$a= $12.

答案： 【解析】：
(1) 在直角三角形$\triangle ABC$中，已知$a = 6$，$b = 8$，根据勾股定理，有$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
(2) 已知$b = 4$，$c = 5$，根据勾股定理，有$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
(3) 已知$a:b = 3:4$，设$a = 3k$，$b = 4k$，且$c = 20$。根据勾股定理，有$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k$。
由于$c = 20$，解得$5k = 20$，即$k = 4$。
因此，$a = 3k = 3 × 4 = 12$。
【答案】：
(1) $10$
(2) $3$
(3) $12$

【针对训练1】如右图,由直角三角形和正方形构成,直角三角形中未知边的长度$x= $10.

答案： 【解析】：
首先，注意到两个正方形面积分别为36和64，因此它们的边长分别为：
边长为$\sqrt{36}=6$和$\sqrt{64}=8$。
根据直角三角形的勾股定理，$x$是斜边，
因此有：$x=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
【答案】：10

例2 在一棵树的$10m高的B$处有两只猴子,一只爬下树走到离树$20m处的池塘的A$处,另外一只爬到树顶$D后直接跃到A$处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高？

答案： 【解析】：设树顶到B点的距离为$xm$，即$BD = xm$。已知树高$BC = 10m$，池塘离树$AC = 20m$。一只猴子从B处爬下树走到A处，经过的距离为$BC + CA=10 + 20=30m$。另一只猴子从B处爬到树顶D后跃到A处，经过的距离为$BD + DA$，因为两只猴子经过的距离相等，所以$BD + DA=30m$，则$DA=30 - x$。树顶D到地面C的距离$DC=BC + BD=10 + x$。在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=DC^{2}+AC^{2}$，即$(30 - x)^{2}=(10 + x)^{2}+20^{2}$。展开方程左边：$900 - 60x+x^{2}$，右边：$100 + 20x+x^{2}+400=500 + 20x+x^{2}$。两边同时减去$x^{2}$得$900 - 60x=500 + 20x$，移项可得$-60x - 20x=500 - 900$，即$-80x=-400$，解得$x = 5$。所以树高$DC=10 + x=10 + 5=15m$。
【答案】：15

【针对训练2】如右图,有两棵树,一棵高$12$米,另一棵高$6$米,两树相距$8$米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行10米.

答案： 【解析】：
设大树高为$AB=12$米，小树高为$CD=6$米。
过$C$点作$CE \perp AB$于$E$，则四边形$EBDC$是矩形。
所以$EB = CD = 6$米，$EC = BD = 8$米，$AE = AB - EB = 12 - 6 = 6$米。
在$Rt \bigtriangleup AEC$中，根据勾股定理，$AC = \sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$米。
【答案】：$10$

1. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a$、$b$、$c$为其三边长,
(1)若$a = 3$,$b = 4$,则$c = $5；
(2)若$a = 5$,$c = 13$,则$b = $12；
(3)当$c = 25$,$a:b = 4:3$,则$b = $15.

答案： 【解析】：
(1) 在直角三角形$ABC$中，由于$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理，有$c^2 = a^2 + b^2$。
给定$a = 3$，$b = 4$，代入得$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，所以$c = \sqrt{25} = 5$。
(2) 同样，在直角三角形$ABC$中，使用勾股定理，有$c^2 = a^2 + b^2$。
给定$a = 5$，$c = 13$，代入得$13^2 = 5^2 + b^2$，即$169 = 25 + b^2$，解得$b^2 = 144$，所以$b = \sqrt{144} = 12$。
(3) 在直角三角形$ABC$中，使用勾股定理，有$c^2 = a^2 + b^2$。
给定$c = 25$，以及$a:b = 4:3$，设$a = 4x$，$b = 3x$，代入得$25^2 = (4x)^2 + (3x)^2$，即$625 = 16x^2 + 9x^2$，解得$25x^2 = 625$，即$x^2 = 25$，所以$x = 5$（负值舍去，因为边长不能为负）。
因此，$b = 3x = 3 × 5 = 15$。
【答案】：
(1) $5$
(2) $12$
(3) $15$

2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,若$a = 8$,$c = 17$,则$b= $15.

答案： 【解析】：在直角三角形中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，已知$\angle C = 90^{\circ}$，所以$c$为斜边，$a = 8$，$c = 17$。则$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，所以$b = \sqrt{225} = 15$。
【答案】：15