《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

22. 计算:$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)-2^{16}$.

答案： 【解析】：观察原式，发现可以利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$进行简便计算。由于原式中缺少$(2 - 1)$这一项，而$2 - 1 = 1$，乘以1不改变原式的值，所以先乘以$(2 - 1)$。
$\begin{aligned}&(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)-2^{16}\\=&(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)-2^{16}\\=&(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)-2^{16}\\=&(2^8 - 1)(2^8 + 1)-2^{16}\\=&2^{16}-1 - 2^{16}\\=&-1\end{aligned}$
【答案】：-1

23. 已知实数$a,b,c满足|a-1|+|b-3|+|3c-1|= 0$,求$(a\cdot b\cdot c)^{2007}÷(a^{9}\cdot b^{3}\cdot c^{2})$的值.

答案： 【解析】：因为绝对值具有非负性，几个非负数的和为$0$，则这几个非负数都为$0$。已知$\vert a - 1\vert+\vert b - 3\vert+\vert 3c - 1\vert = 0$，所以可得：
$a - 1 = 0$，解得$a = 1$；
$b - 3 = 0$，解得$b = 3$；
$3c - 1 = 0$，解得$c=\dfrac{1}{3}$。
接下来计算$(a\cdot b\cdot c)^{2007}÷(a^{9}\cdot b^{3}\cdot c^{2})$的值，先将$a = 1$，$b = 3$，$c=\dfrac{1}{3}$代入式子中：
$a\cdot b\cdot c=1×3×\dfrac{1}{3}=1$，所以$(a\cdot b\cdot c)^{2007}=1^{2007}=1$。
$a^{9}\cdot b^{3}\cdot c^{2}=1^{9}×3^{3}×\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=1×27×\dfrac{1}{9}=3$。
则原式$=1÷3=\dfrac{1}{3}$。
【答案】：$\dfrac{1}{3}$