《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

13. 如右图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 40^{\circ}$,点 $D$ 在 $AC$ 上,$BD = BC$,则$\angle ABD$的度数是____30°。

答案： 【解析】：
因为$AB=AC$，$\angle A=40^\circ$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle C=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$。
因为$BD=BC$，所以$\triangle BDC$是等腰三角形，$\angle BDC=\angle C=70^\circ$，
根据三角形内角和定理，$\angle DBC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$，
$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=70^\circ-40^\circ=30^\circ$。
【答案】：$30^\circ$

14. 如下图所示,$AB = DB$,$\angle ABD = \angle CBE$,请你添加一个适当的条件$BC = BE$（答案不唯一，$\angle A = \angle D$ 或 $\angle C = \angle E$ 均可）,使$\triangle ABC \cong \triangle DBE$.(只需添加一个即可).

答案： 【解析】：
根据题目已知条件 $AB = DB$ 和 $\angle ABD = \angle CBE$，我们可以利用全等三角形的判定条件来找出使 $\triangle ABC \cong \triangle DBE$ 所需的额外条件。
首先，我们注意到 $\angle ABD = \angle CBE$，这意味着 $\angle ABD + \angle DBC = \angle CBE + \angle DBC$，即 $\angle ABC = \angle DBE$。
现在，我们已经有了两边相等（$AB = DB$）和一对相等的角（$\angle ABC = \angle DBE$），为了使两个三角形全等，我们可以选择以下任一条件：
1. 添加 $BC = BE$，这样我们就有了两边及它们之间的夹角相等（$SAS$），从而可以判定 $\triangle ABC \cong \triangle DBE$。
2. 添加 $\angle A = \angle D$，这样我们就有了两角及它们之间的一边相等（$ASA$），也可以判定 $\triangle ABC \cong \triangle DBE$。
3. 添加 $\angle C = \angle E$，结合已知的 $\angle ABC = \angle DBE$ 和 $AB = DB$，我们可以使用 $AAS$（两角及非夹边相等）来判定 $\triangle ABC \cong \triangle DBE$。
【答案】：
$BC = BE$（答案不唯一，$\angle A = \angle D$ 或 $\angle C = \angle E$ 均可）。

15. 如上图所示,已知 $AB = AC$,$EB = EC$,$AE$ 的延长线交 $BC$ 于 $D$,那么图中全等的三角形有3对。

答案： 【解析】：
首先，由于 $ AB = AC $，三角形 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形，所以 $ \angle ABD = \angle ACD $。
其次，由于 $ EB = EC $，三角形 $ \triangle EBC $ 也是等腰三角形，所以 $ \angle EBD = \angle ECD $。
再次， $ AE $ 交 $ BC $ 于 $ D $，所以 $ D $ 是 $ BC $ 的中点，因此 $ BD = DC $。
根据以上条件，可以找出以下全等三角形：
1. $ \triangle ABD \cong \triangle ACD $（SAS， $ AB = AC $， $ BD = DC $， $ \angle ABD = \angle ACD $）
2. $ \triangle EBD \cong \triangle ECD $（SAS， $ EB = EC $， $ BD = DC $， $ \angle EBD = \angle ECD $）
3. $ \triangle AEB \cong \triangle AEC $（SSS， $ AB = AC $， $ EB = EC $， $ AE = AE $）
【答案】：3

16. 已知线段 $a$,$b(b ＞ a)$,求作$\triangle ABC$,使 $BC = a$,$AB = AC = b$. 作法：① 作线段 $BC = a$；②分别以点B，C为圆心，$b$为半径作弧，两弧交于点A；③ 分别连接 $AB$,$AC$,则$\triangle ABC$ 就是所求作的三角形。

答案： 【解析】：
根据等腰三角形的性质，若已知两腰的长度，则两腰的夹角对应的顶点在以两腰为端点的线段的垂直平分线上。
因此，我们需要确定点A的位置，使其满足$AB = AC = b$。
具体作法如下：
1. 作线段$BC = a$。
2. 分别以点B和点C为圆心，以$b$为半径，在线段BC的两侧作弧，这两弧的交点即为点A（考虑到$b ＞ a$，所以这样的交点一定存在且有两个，但在此我们只需选择其中一个作为点A即可）。
3. 分别连接$AB$和$AC$，得到的$\triangle ABC$就是所求作的三角形。
【答案】：
分别以点B，C为圆心，$b$为半径作弧，两弧交于点A。

17. 如右图,已知$\angle A = 32^{\circ}$,$\angle ADC = 110^{\circ}$,$BE \perp AC$于点 $E$. 求$\angle B$的度数.

答案： 【解析】：在△ADC中，已知∠A=32°，∠ADC=110°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠ADC=180°-32°-110°=38°。因为BE⊥AC，所以∠BEC=90°。在△BEC中，∠BEC=90°，∠C=38°，则∠B=180°-∠BEC-∠C=180°-90°-38°=52°。
【答案】：52°

18. 如图,已知线段 $c$ 和$\angle \alpha$.
求作：$\triangle ABC$,使 $AB = c$,$\angle A = \angle \alpha$,$\angle B = 2\angle \alpha$.

答案： 【解析】：1. 作线段 $AB = c$；
2. 以点 $A$ 为顶点，$AB$ 为一边，利用量角器作 $\angle DAB = \angle \alpha$；
3. 以点 $B$ 为顶点，$BA$ 为一边，在 $AB$ 的同侧作 $\angle ABE = 2\angle \alpha$，射线 $AD$ 与 $BE$ 交于点 $C$；
4. 则 $\triangle ABC$ 即为所求作的三角形。
【答案】：如图所示，$\triangle ABC$ 即为所求。（注：此处需根据实际作图情况呈现图形，文字表述仅为作图步骤说明）

19. 如右图所示,已知$\angle ABC$中,$AB = AC$,$M$是 $BC$ 的中点,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 边上的点,且 $BD = CE$,求证：$MD = ME$.

答案： 【解析】：因为在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C$。又因为$M$是$BC$的中点，所以$BM = CM$。已知$BD = CE$，在$\triangle DBM$和$\triangle ECM$中，有$\begin{cases} BD = CE \\ \angle B=\angle C \\ BM = CM \end{cases}$，根据全等三角形的判定定理（SAS），可得$\triangle DBM\cong\triangle ECM$，因此$MD = ME$。
【答案】：$MD = ME$

20. 已知,如右图,$\triangle ABC$ 中,$\angle B = 65^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AE$ 是$\angle BAC$的平分线,求$\angle DAE$的度数.

答案： 【解析】：
在$\triangle ABC$中，已知$\angle B=65^\circ$，$\angle C=45^\circ$，根据三角形内角和定理，可得：
$\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$。
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，所以：
$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×70^\circ=35^\circ$。
在直角$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^\circ-\angle B=90^\circ-65^\circ=25^\circ$。
$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD=35^\circ-25^\circ=10^\circ$。
【答案】：$10^\circ$