《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

例 1 下列说法正确的是 (C)
A.由三个角组成的图形叫三角形
B.由三条直线组成的图形叫三角形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形
D.由三条线段组成的图形叫三角形

答案： 【解析】：三角形的定义需满足两个关键条件：一是三条线段不在同一直线上，二是三条线段首尾顺次相接。选项A仅提到三个角，未涉及线段及连接方式，错误；选项B将线段说成直线，直线无限长，不符合三角形构成要素，错误；选项D未强调“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”，不完整，错误；选项C准确表述了三角形的定义，符合要求。
【答案】：C

【针对训练 1】 如右图所示, $ \triangle ABC $ 中,D 是 BC 上一点,E 是 AD 上一点。
(1) 以 AB 为边的三角形共有3个,它们是△ABC、△ABE、△ABD；
(2) $ \angle BCE $ 是 $ \triangle $BCE和 $ \triangle $DCE的内角；
(3) 在 $ \triangle ACE $ 中, $ \angle CAE $ 的对边是CE。

答案： 【解析】：
(1) 观察图形，以 AB 为边的三角形，需要找出所有包含 AB 边的三角形。有△ABC、△ABE、△ABD。共 3 个。
(2) ∠BCE 的顶点是 C，两边分别是 CB 和 CE，所以它是△BCE 和△DCE 的内角。
(3) 在△ACE 中，∠CAE 的顶点是 A，其对边是与 A 相对的边，即 CE。
【答案】：
(1) 3；△ABC、△ABE、△ABD；
(2) BCE；DCE；
(3) CE

例 2 现有四根木棒,长度分别为 4cm,6cm,8cm,10cm。从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为 (C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对四根木棒$4cm$，$6cm$，$8cm$，$10cm$进行组合判断。
组合一：$4cm$，$6cm$，$8cm$，因为$4 + 6 = 10\gt 8$，$4 + 8 = 12\gt 6$，$6 + 8 = 14\gt 4$，且$\vert 4 - 6\vert = 2\lt 8$，$\vert 4 - 8\vert = 4\lt 6$，$\vert 6 - 8\vert = 2\lt 4$，所以能组成三角形。
组合二：$4cm$，$6cm$，$10cm$，因为$4 + 6 = 10$，不满足任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
组合三：$4cm$，$8cm$，$10cm$，因为$4 + 8 = 12\gt 10$，$4 + 10 = 14\gt 8$，$8 + 10 = 18\gt 4$，且$\vert 4 - 8\vert = 4\lt 10$，$\vert 4 - 10\vert = 6\lt 8$，$\vert 8 - 10\vert = 2\lt 4$，所以能组成三角形。
组合四：$6cm$，$8cm$，$10cm$，因为$6 + 8 = 14\gt 10$，$6 + 10 = 16\gt 8$，$8 + 10 = 18\gt 6$，且$\vert 6 - 8\vert = 2\lt 10$，$\vert 6 - 10\vert = 4\lt 8$，$\vert 8 - 10\vert = 2\lt 6$，所以能组成三角形。
综上，能组成三角形的组合有$3$个。
【答案】：C

【针对训练 2】 下列各组线段中,能组成三角形的是 (C)
A.$ a = 6 $, $ b = 8 $, $ c = 15 $
B.$ a = 7 $, $ b = 6 $, $ c = 13 $
C.$ a = 4 $, $ b = 5 $, $ c = 6 $
D.$ a = \frac{1}{2} $, $ b = \frac{1}{4} $, $ c = \frac{1}{8} $。

答案： 【解析】：
要判断各组线段是否能组成三角形，需要使用三角形的三边关系定理，即对于任意三角形，其任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
A. 对于 $a = 6$，$b = 8$，$c = 15$：
$6 + 8 = 14 ＜ 15$
由于 $6 + 8$ 小于 $15$，不满足三角形的三边关系，故不能组成三角形。
B. 对于 $a = 7$，$b = 6$，$c = 13$：
$7 + 6 = 13$
由于 $7 + 6$ 等于 $13$，不满足三角形的三边关系（需要大于），故不能组成三角形。
C. 对于 $a = 4$，$b = 5$，$c = 6$：
$4 + 5 = 9 ＞ 6$
$5 - 4 = 1 ＜ 6$
$6 - 5 = 1 ＜ 4$
$6 - 4 = 2 ＜ 5$
所有两边之和都大于第三边，且所有两边之差都小于第三边，满足三角形的三边关系，故能组成三角形。
D. 对于 $a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{4}$，$c = \frac{1}{8}$：
$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} ＜ \frac{1}{2}$
由于 $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$ 小于 $\frac{1}{2}$，不满足三角形的三边关系，故不能组成三角形。
【答案】：C

例 3 如右图所示, $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $, $ \angle A = 50^{\circ} $, $ \angle B = 70^{\circ} $, $ CD = 3cm $,则 $ \angle EFD = $60$ ^{\circ} $, $ AF = $3cm。

答案： 【解析】：已知$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，根据全等三角形的性质，对应角相等，所以$\angle D=\angle A = 50^{\circ}$，$\angle E=\angle B = 70^{\circ}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle DEF$中，$\angle EFD=180^{\circ}-(\angle D + \angle E)=180^{\circ}-(50^{\circ}+70^{\circ}) = 60^{\circ}$。
又因为全等三角形对应边相等，所以$DF = AC$，那么$DF - CF=AC - CF$，即$AF = CD$，已知$CD = 3cm$，所以$AF = 3cm$。
【答案】：60；3