《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

例1 圆柱的高h为10厘米,当圆柱的底面半径r由小到大变化时,圆柱的体积V也发生了变化,在这个变化过程中 (B)
A.r是因变量,V是自变量
B.r是自变量,V是因变量
C.r是自变量,h是因变量
D.h是自变量,V是因变量

答案： 【解析】：圆柱的高h为10厘米，是固定不变的常量，不是变量，所以排除选项C和D。当圆柱底面半径r变化时，体积V会随之变化，其中r是主动变化的量，称为自变量，V是随着r的变化而变化的量，称为因变量。
【答案】：B

【针对训练1】 写出下列问题中的关系式,并指出其中的变量和常量.
(1)用20cm的铁丝围成的长方形的长x(cm)与面积$S(cm^2)$的关系;
(2)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系;
(3)一盛满30吨水的水箱,每小时流出0.5吨水,试用流水时间t(小时)表示水箱中的剩水量y(吨).

答案： 【解析】：
(1)长方形的周长固定为20cm，假设长为$x$，宽为$10 - x$（因为$2(x + (10-x)) = 20$），所以面积$S = x(10 - x) = 10x - x^2$。在这个关系式中，$S$和$x$是变量，而10是常量（因为周长的一半，即$20 ÷ 2 = 10$，是固定的）。
(2)在直角三角形中，两个锐角的和为$90^\circ$。所以，如果其中一个锐角为$\alpha$，那么另一个锐角$\beta = 90^\circ - \alpha$。在这个关系式中，$\alpha$和$\beta$是变量，而$90^\circ$是常量。
(3)水箱初始有30吨水，每小时流出0.5吨，流水时间为$t$小时，所以流出的水量为$0.5t$吨。因此，水箱中的剩水量$y = 30 - 0.5t$。在这个关系式中，$y$和$t$是变量，而30和0.5是常量。
【答案】：
(1)$S = 10x - x^2$；变量：$S$，$x$；常量：10。
(2)$\beta = 90^\circ - \alpha$；变量：$\alpha$，$\beta$；常量：$90^\circ$。
(3)$y = 30 - 0.5t$；变量：$y$，$t$；常量：30，0.5。

例2 在烧开水时,水的温度达到100℃就会沸腾,下表是小颖做“观察水的沸腾”实验时记录的数据:
|时间/分|0|2|4|6|8|10|12|14|…|
|温度/℃|28|40|52|64|76|88|100|100|…|
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)水的温度是如何随时间变化而变化的?
(3)时间每过2分钟,水的温度变化情况如何?
(4)根据表格,你认为16分钟时,水的温度是多少?

答案： 【解析】：
(1)从表格中我们可以看到两个变量：时间和温度。其中，时间导致温度的变化，所以时间是自变量，而温度是因时间变化而变化的，所以温度是因变量。
(2)观察表格数据，我们可以看到在时间为12分钟之前，水的温度是持续上升的，但在12分钟之后，温度稳定在100℃，不再上升。
(3)在时间为12分钟之前，每过2分钟，水的温度都上升12℃。但在12分钟之后，温度不再变化，保持在100℃。
(4)由于在12分钟之后，水的温度已经达到沸点，所以不会继续上升。因此，16分钟时的水温仍然是100℃。
【答案】：
(1)时间与温度；时间；温度
(2)在时间为12分钟之前，水的温度随时间增加而升高，12分钟之后，温度稳定在100℃
(3)在时间为12分钟之前，每过2分钟，水的温度上升12℃；12分钟之后，温度不再变化
(4)100℃