《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

1. (南京) 如右图所示,在$\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,且 $D$ 为 $BC$ 上一点,$CD = AD$,$AB = BD$,则$\angle B$ 的度数为(36°)

A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 【解析】：在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，设∠B=∠C=x。
因为AB=BD，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠ADB。根据三角形内角和定理，∠ADB=（180°-∠B）÷2=（180°-x）÷2=90°-x/2。
又因为CD=AD，所以△ADC是等腰三角形，∠CAD=∠C=x。
由于∠BAC=∠BAD+∠CAD，而∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2x。同时∠BAD=∠ADB=90°-x/2，所以∠BAC=（90°-x/2）+x=90°+x/2。
由此可得方程：180°-2x=90°+x/2，解得x=36°，即∠B=36°。
【答案】：B

2. (南昌) 右下图所示,$AB // DE$,$AC // DF$,$AC = DF$,下列条件中,不能判断$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 的是(C)
A.$AB = DE$
B.$\angle B = \angle E$
C.$EF = BC$
D.$EF // BC$

答案： 【解析】：
A. $AB = DE$，根据两边和其夹角分别相等，则两个三角形全等，这里$AB = DE$，$AC = DF$，且$\angle BAC=\angle EDF$（两直线平行，内错角相等），所以$\triangle ABC \cong \triangle DEF$（SAS），故A选项不符合题意；
B. $\angle B = \angle E$，根据两角和其夹边分别相等，则两个三角形全等，这里$\angle B = \angle E$，$\angle BAC=\angle EDF$（两直线平行，内错角相等），$AC = DF$，所以$\triangle ABC \cong \triangle DEF$（ASA），故B选项不符合题意；
C. $EF = BC$，仅知道两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，故C选项符合题意；
D. $EF // BC$，因为$AB // DE$，$EF // BC$，所以$\angle B=\angle E$，又因为$AC // DF$，所以$\angle BAC=\angle EDF$，且$AC = DF$，所以$\triangle ABC \cong \triangle DEF$（ASA），故D选项不符合题意。
【答案】：C

3. (深圳) 如上图所示,$\triangle ABC$ 和$\triangle DEF$ 中,$AB = DE$,$\angle B = \angle DEF$,添加下列哪一个条件无法证明$\triangle ABC \cong \triangle DEF$(C)
A.$AC // DF$
B.$\angle A = \angle D$
C.$AC = DF$
D.$\angle ACB = \angle F$

答案： 【解析】：
对于选项A：因为$AC// DF$，所以$\angle ACB=\angle F$，可以用$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$\angle ACB=\angle F$（$AAS$）证明两个三角形全等，所以该选项不符合题意；
对于选项B：可以用$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$\angle A=\angle D$（$ASA$）证明两个三角形全等，所以该选项不符合题意；
对于选项C：$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$AC=DF$，是两边及其中一边的对角对应相等，无法证明两个三角形全等，所以该选项符合题意；
对于选项D：可以用$AB=DE$，$\angle B=\angle DEF$，$\angle ACB=\angle F$（$AAS$）证明两个三角形全等，所以该选项不符合题意。
【答案】：C

4. (长沙) 如下图所示,点 $B$,$E$,$C$,$F$ 在一条直线上,$AB // DE$,$AB = DE$,$BE = CF$,$AC = 6$,则 $DF = $6.

答案： 【解析】：因为 $AB // DE$，所以 $\angle B = \angle DEF$（两直线平行，同位角相等）。
已知 $BE = CF$，等式两边同时加上 $EC$，可得 $BE + EC = CF + EC$，即 $BC = EF$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$\begin{cases} AB = DE \\ \angle B = \angle DEF \\ BC = EF \end{cases}$，根据“边角边”（SAS）全等判定定理，可得 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
因为全等三角形的对应边相等，所以 $AC = DF$。又已知 $AC = 6$，因此 $DF = 6$。
【答案】：6

5. (常德) 如上图所示,已知$\triangle ABC$ 三个内角的平分线交于点 $O$,点 $D$ 在 $CA$ 的延长线上,且 $DC = BC$,$AD = AO$,若$\angle BAC = 80^{\circ}$,则$\angle BCA$ 的度数为____10.

答案： 【解析】：已知$\triangle ABC$三个内角的平分线交于点$O$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，设$\angle BCA = 2\alpha$，则$\angle ABC = 180^{\circ}-80^{\circ}-2\alpha=100^{\circ}-2\alpha$。
因为角平分线，所以$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$，$\angle OCA=\alpha$，$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 50^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle OBC$和$\triangle ODC$中，$DC = BC$，$OC=OC$，$\angle OCD=\angle OCB=\alpha$（角平分线），所以$\triangle OBC\cong\triangle ODC(SAS)$，则$\angle D=\angle OBC = 50^{\circ}-\alpha$。
因为$AD = AO$，所以$\triangle AOD$是等腰三角形，$\angle AOD=\angle D = 50^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle AOC$中，$\angle AOC=180^{\circ}-\angle OAC-\angle OCA=180^{\circ}-40^{\circ}-\alpha=140^{\circ}-\alpha$。
又因为$\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ}$（平角），所以$140^{\circ}-\alpha + 50^{\circ}-\alpha=180^{\circ}$，解得$\alpha = 5^{\circ}$，则$\angle BCA=2\alpha=10^{\circ}$。
【答案】：10

6. (陕西) 如下图所示,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,点 $D$ 在边 $AB$ 上,使 $DB = BC$,过点 $D$ 作 $EF \perp AC$,分别交 $AC$ 于点 $E$,$CB$ 的延长线于点 $F$. 求证：$AB = BF$.

答案： 【解析】：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$EF \perp AC$于点$E$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$。
因为$\angle A + \angle ADE = 90^{\circ}$，$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），所以$\angle ADE = \angle C$（同角的余角相等）。
又因为$\angle ADE = \angle FDB$（对顶角相等），所以$\angle FDB = \angle C$。
已知$DB = BC$，且$\angle FBD = \angle ABC = 90^{\circ}$（平角定义），所以在$\triangle FBD$和$\triangle ABC$中：
$\begin{cases} \angle FBD = \angle ABC = 90^{\circ} \\DB = BC \\\angle FDB = \angle C \end{cases}$
根据角边角（ASA）全等判定定理，可得$\triangle FBD \cong \triangle ABC$。
因此，全等三角形的对应边相等，即$AB = BF$。
【答案】：$AB = BF$

7. (邵阳) 如下图所示,已知点 $A$、$F$、$E$、$C$ 在同一直线上,$AB // CD$,$\angle ABE = \angle CDF$,$AF = CE$.
(1) 从图中任找两组全等三角形；
(2) 从(1) 中任选一组进行证明.

答案： 【解析】：
(1) 根据题目条件及图形，我们可以找到两组全等三角形：
$\triangle ABE \cong \triangle CDF$，$\triangle AFD \cong \triangle CEB$；
(2) 选择证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$：
由于 $AB // CD$，根据平行线的性质，我们知道 $\angle BAE = \angle DCF$（内错角相等）；
题目给出 $AF = CE$，由于 $A$、$F$、$E$、$C$ 在同一直线上，
因此 $AF + FE= CE + FE$，即 $AE = CF$；
题目给出 $\angle ABE = \angle CDF$；
根据角边角（ASA）全等条件，我们可以得出 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$。
【答案】：
(1) $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，$\triangle AFD \cong \triangle CEB$；
(2) 证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$：
由于 $AB // CD$，$\angle BAE = \angle DCF$，
又 $AF = CE$，$A$、$F$、$E$、$C$ 在同一直线上，
所以 $AE = CF$，且 $\angle ABE = \angle CDF$，
根据角边角（ASA）全等条件，$\triangle ABE \cong \triangle CDF$。