《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

如图,$△ABC和△A'B'C'$关于直线MN对称,$△A'B'C'和△A''B''C''$关于直线EF对称。
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究$∠BOB''$与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系。

答案： 【解析】：
(1)根据对称性质，连接对应点，作线段的垂直平分线，即为对称轴，即可画出直线EF。
(2)根据对称性质，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，因此，可以通过角的对称性探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系。
具体步骤如下：
△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，故∠BOM = ∠B′OM。
△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，故∠B′OE = ∠B″OE。
因为∠BOB″ = ∠BOM + ∠B′OM + ∠B′OE + ∠B″OE = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2α。
【答案】：
(1) 略
(2) ∠BOB″ = 2α

1.(天津)下列标志中,可以看作是轴对称图形的是(D)

答案： 【解析】：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形。选项A中的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合；选项B是中心对称图形，不是轴对称图形；选项C同样是中心对称图形，不符合轴对称图形的定义；选项D的图形沿中间竖直直线折叠后，左右两部分能够完全重合，所以它是轴对称图形。
【答案】：D

2.(泰安)下列四个图形：

其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是(1)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：逐一分析各图形：
图形A：两个等大的圆形并排组成，沿两圆圆心连线所在的直线以及过两圆圆心连线中点且垂直于此连线的直线对称，共有2条对称轴，是轴对称图形。
图形B：由一个长方形和两个半圆组成（类似汽车轮胎正视图形），对称轴只有1条（过长方形上下边中点的直线），不符合对称轴条数为2的要求。
图形C：圆形内有两条互相垂直的直径（一横一竖），对称轴有4条（两条直径所在直线以及两条对角线所在直线），不符合对称轴条数为2的要求。
图形D：正三角形内接于圆形，正三角形有3条对称轴，圆形本身有无数条对称轴，但整体图形的对称轴与正三角形一致，为3条，不符合要求。
综上，只有图形A是轴对称图形且对称轴条数为2，符合条件的图形个数是1。
【答案】：A

3.(遂宁)如右图所示,AD是$△ABC中∠BAC$的角平分线,$DE⊥AB$于点E,$S_{△ABC}= 7$,$DE= 2$,$AB= 4$,则AC长是(3)

A.3
B.4
C.6
D.5

答案： 【解析】：
由于$AD$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的角平分线，并且$DE\perp AB$于点$E$，
根据角平分线的性质，点$D$到$AB$的距离等于点$D$到$AC$的距离，
即$DE=DF$（设$DF\perp AC$于点$F$，虽然题目未明确画出，但可以根据角平分线的性质设定）。
已知$DE=2$，所以$DF=2$。
根据三角形的面积公式，有
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$
$=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}× AC×2$
$=4+AC$
由于$S_{\triangle ABC}=7$，代入上式得
$4+AC=7$
解得$AC=3$。
【答案】：A

4.(湖州)如右图所示,已知在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,D是BC边的中点,分别以B,C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论：①$ED⊥BC$；②$∠A= ∠EBA$；③EB平分$∠AED$；④$ED= \frac {1}{2}AB$中,一定正确的是(B)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： 【解析】：
由作图可得：$PE$为$BC$的垂直平分线，
则$ED\perp BC$，故①正确；
$\because\angle ABC=90^{\circ}$，$ED\perp BC$，
$\therefore AB// ED$，
$\therefore\angle A=\angle CED$，$\angle ABE=\angle BED$，
$\because D$是$BC$的中点，$ED\perp BC$，
$\therefore ED$是$Rt\triangle EBC$斜边上的中线，
$\therefore EB=EC$，
$\therefore\angle EBC=\angle C$，
$\because\angle A+\angle C=90^{\circ}$，$\angle EBC+\angle BED=90^{\circ}$，
$\therefore\angle A=\angle BED$，$\angle C=\angle BED$，
$\therefore\angle A=\angle EBA$，故②正确；
$\because\angle A=\angle CED$，$\angle A=\angle EBA$，
$\therefore\angle CED=\angle EBA$，
但无法说明$EB$平分$\angle AED$，故③错误；
$\because\angle ABC=90^{\circ}$，$ED\perp BC$，
$\therefore AB// ED$，
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore E$为$AC$的中点，
$\therefore ED$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore ED=\frac{1}{2}AB$，故④正确；
【答案】：B

5.(江苏)如下图所示,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,D为$△ABC$外一点,且$AD= BD$,$DE⊥AC$交CA的延长线于点E。试探求ED、AE和BC之间有何数量关系。

答案： 【解析】：
连接CD，设AC=BC=a，AE=x，ED=y。
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，AB=√2a，∠CAB=45°。
∵AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上。又
∵AC=BC，点C也在AB的垂直平分线上，
∴CD是AB的垂直平分线。
延长CD交AB于点O，则CO⊥AB，AO=BO=√2a/2，CO=AO=√2a/2（等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEDF（F为CD与DE的交点，此处简化）中，∠E=∠ECD=90°，故DE//BC，∠ADE=∠ABC=45°（内错角）。
在Rt△AED中，∠EAD=180°-∠CAB=135°，∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，△AED为等腰直角三角形？（修正：∠EAD=180°-∠CAB=135°，∠ADE=45°，则∠EAD+∠ADE=180°，矛盾，故需用勾股定理）。
设CD=d，在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²-2·AC·CD·cos∠ACD（余弦定理），但更简便：过D作DF⊥BC交BC延长线于F，易证四边形ECFD为矩形，
∴ED=CF=y，EC=DF=AC+AE=a+x。
∵AD=BD，Rt△AED≌Rt△BFD（HL），
∴AE=BF=x，
∴BC+BF=CF，即a+x=y，故y=a+x，即ED=AE+BC。
【答案】：ED=AE+BC