《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

9. 如上图右所示,点$E在AB$上,$AC= AD$,$BC= BD$,则图中全等三角形有(B)
A.$2$对
B.$3$对
C.$4$对
D.$5$对

答案： 【解析】：在△ACB和△ADB中，AC=AD，BC=BD，AB=AB，根据SSS（边边边）定理可得△ACB≌△ADB。
由△ACB≌△ADB可推出∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA。
在△ACE和△ADE中，AC=AD，∠CAE=∠DAE（由∠CAB=∠DAB得出），AE=AE，根据SAS（边角边）定理可得△ACE≌△ADE。
在△BCE和△BDE中，BC=BD，∠CBE=∠DBE（由∠CBA=∠DBA得出），BE=BE，根据SAS定理可得△BCE≌△BDE。
综上，图中全等三角形有△ACB≌△ADB、△ACE≌△ADE、△BCE≌△BDE，共3对。
【答案】：B

10. 如下图是小华画的正方形风筝图案,他以图中的对角线$AB$所在直线为对称轴,在对角线的另一侧再画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若图中有一图形为此轴对称图形,则此图为(C)

答案： 【解析】：要使新的风筝图案成为以对角线$AB$所在直线为对称轴的轴对称图形，需要在对角线$AB$的另一侧画出与原三角形关于$AB$对称的三角形。对称图形的特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合。原图形中已有一个三角形，其关于$AB$对称的三角形应与原三角形在形状、大小上完全相同，且对应点的连线被$AB$垂直平分。通过观察各选项，选项C中对角线两侧的三角形能够关于$AB$对称，符合轴对称图形的要求。
【答案】：C

11. 如下图所示,$A$,$B$,$C$三点在同一条直线上,已知$∠1= 23^{\circ }$,$∠2= 67^{\circ }$,则$CD与CE$的位置关系是______垂直。

答案： 【解析】：
因为$A$，$B$，$C$三点在同一条直线上，且$\angle1 = 23^{\circ}$，$\angle2 = 67^{\circ}$，所以$\angle ACE=180^{\circ}-\angle1 - \angle2=180^{\circ}-23^{\circ}-67^{\circ}=90^{\circ}$。
根据垂直的定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，由于$\angle ACE = 90^{\circ}$，所以$CD\perp CE$，即$CD$与$CE$的位置关系是垂直。
【答案】：垂直

12. 如上图,$AB// CD$,$BC// DE$,若$∠B= 50^{\circ }$,则$∠D$的度数是______$130^\circ$。

答案： 【解析】：
由于 $AB // CD$，根据平行线的性质，得到 $\angle B = \angle C$（内错角相等）。
题目给出 $\angle B = 50^\circ$，所以 $\angle C = 50^\circ$。
又因为 $BC // DE$，根据平行线的性质，$\angle C + \angle D = 180^\circ$（同旁内角互补）。
所以 $\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。
【答案】：$130^\circ$

13. 如上图,点$D在\triangle ABC的边BC$的延长线上,$DE⊥AB于E$,交$AC于F$,$∠B= 50^{\circ }$,$∠CFD= 60^{\circ }$,则$∠ACB= $100°。

答案： 【解析】：因为 $DE \perp AB$，所以 $\angle AEF = 90^\circ$。在 $\triangle AEF$ 中，$\angle AFE$ 与 $\angle CFD$ 是对顶角，所以 $\angle AFE = \angle CFD = 60^\circ$。则 $\angle A = 180^\circ - \angle AEF - \angle AFE = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle B = 50^\circ$，$\angle A = 30^\circ$，根据三角形内角和定理，$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ$。
【答案】：100°

14. 如下图所示,直线$l_{1}// l_{2}$,$AB⊥CD$,$∠1= 34^{\circ }$,那么$∠2= $$56^{\circ}$。

答案： 【解析】：
1. 根据题目中的图形和条件，直线 $ l_1 // l_2 $，且 $ AB \perp CD $。
2. 由于 $ AB \perp CD $，所以 $ \angle ABC = 90^\circ $。
3. 题目给出 $ \angle 1 = 34^\circ $。
4. 因为 $ l_1 // l_2 $，且 $ AB $ 是横截线，所以 $ \angle 1 $ 和 $ \angle DBC $ 是同位角，即 $ \angle DBC = 34^\circ $。
5. 在三角形 $ BCD $ 中，$ \angle 2 $ 是外角，根据外角定理，外角等于不相邻的内角之和。
6. 所以 $ \angle 2 = \angle ABC - \angle DBC = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ $。
【答案】：$56^\circ$

15. 如上图,$∠1= ∠2$,$AC= DF$,那么只需补充一个条件$BC = EF$或$∠A = ∠D$或$∠B = ∠E$,就使$\triangle ABC与\triangle DEF$全等。

答案： 【解析】：
根据题目已知条件$∠1=∠2$和$AC=DF$，结合三角形全等的判定定理，可以通过以下几种方式补充条件使$\triangle ABC$与$\triangle DEF$全等：
方式一：补充条件$BC=EF$。
此时在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$∠1 = ∠2$，$BC = EF$，满足边角边（SAS）全等判定定理，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
方式二：补充条件$∠A=∠D$。
此时在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$∠1 = ∠2$，$AC = DF$，$∠A = ∠D$，满足角边角（ASA）全等判定定理，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
方式三：补充条件$∠B=∠E$。
因为$∠1 = ∠2$，所以$∠1 + ∠AFB = ∠2 + ∠DFE$，即$∠AFB = ∠DFE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$∠B = ∠E$，$∠AFB = ∠DFE$，$AC = DF$，满足角角边（AAS）全等判定定理，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
【答案】：$BC = EF$或$∠A = ∠D$或$∠B = ∠E$

16. 已知：如图,$\triangle ABD\cong \triangle ACE$,点$B与C$是对应点,$AB= 5$,$AD= 3$,则$BE= $2。

答案： 【解析】：
由于$\triangle ABD\cong \triangle ACE$，且点$B$与点$C$是对应点，
所以有$AB = AC$，$AD = AE$。
已知$AB = 5$，$AD = 3$，
所以$AC=5$，$AE=3$，
因此$BE = AC - AE=AB - AD = 5 - 3 = 2$。
【答案】：2

17. 如下图,$AB// CD$,$AD// BC$,$BE= DF$,则图中全等三角形有______对。

4

答案： 【解析】：
在四边形$ABCD$中，$AB// CD,AD// BC$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等。
所以$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle A=\angle C$，$\angle ABC=\angle ADC$。
因为$BE = DF$，$AD = BC$，$AD - DE=BC - CE$，即$AE = CF$。
在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中：
$\begin{cases}AD = CB,\\\angle A=\angle C,\\DF = BE.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出$\triangle ADF\cong\triangle CBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中：
$\begin{cases}AB = CD,\\\angle A=\angle C,\\BE = DF.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
连接$BF$、$DE$。
在$\triangle BFC$和$\triangle DEA$中：
$\begin{cases}BC = AD,\\\angle C=\angle A,\\CF = AE.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出$\triangle BFC\cong\triangle DEA$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中：
$\begin{cases}AB = CD,\\AD = CB,\\BD = DB.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的边边边（SSS），可以得出$\triangle ABD\cong\triangle CDB$。
【答案】：4