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2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
23. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 2∠B$,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$∠1= ∠B$。
求证：$AB= AC+CD$。
求证：$AB= AC+CD$。
答案：
【解析】：
在$AB$上截取$AE=AC$，连接$DE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle CAD=\angle EAD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle AED$中：
$\begin{cases}AC = AE,\\\angle CAD=\angle EAD,\\AD = AD.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ACD\cong\triangle AED$。
由全等三角形的性质可知$CD = DE$，$\angle C=\angle AED$。
已知$\angle C = 2\angle B$，$\angle 1=\angle B$，且$\angle AED=\angle 1+\angle EDB$，所以$\angle AED=\angle B+\angle EDB = 2\angle B$，则$\angle EDB=\angle B$。
根据等角对等边，可得$EB = ED$。
因为$CD = DE$，$EB = ED$，所以$EB = CD$。
又因为$AB=AE + EB$，$AC = AE$，所以$AB=AC + CD$。
【答案】：
在$AB$上截取$AE = AC$，连接$DE$，通过证明$\triangle ACD\cong\triangle AED$，得出$CD = DE$，再结合已知条件推出$EB = CD$，进而证明$AB=AC + CD$。
在$AB$上截取$AE=AC$，连接$DE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle CAD=\angle EAD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle AED$中：
$\begin{cases}AC = AE,\\\angle CAD=\angle EAD,\\AD = AD.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ACD\cong\triangle AED$。
由全等三角形的性质可知$CD = DE$，$\angle C=\angle AED$。
已知$\angle C = 2\angle B$，$\angle 1=\angle B$，且$\angle AED=\angle 1+\angle EDB$，所以$\angle AED=\angle B+\angle EDB = 2\angle B$，则$\angle EDB=\angle B$。
根据等角对等边，可得$EB = ED$。
因为$CD = DE$，$EB = ED$，所以$EB = CD$。
又因为$AB=AE + EB$，$AC = AE$，所以$AB=AC + CD$。
【答案】：
在$AB$上截取$AE = AC$，连接$DE$，通过证明$\triangle ACD\cong\triangle AED$，得出$CD = DE$，再结合已知条件推出$EB = CD$，进而证明$AB=AC + CD$。
24. 如图,在等边$\triangle ABC$中,$∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O$,$BO$,$OC的垂直平分线分别交BC于点E$,$F$,求证：$\triangle OEF$是等边三角形。
答案：
【解析】：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB=30°。
∵EG是BO的垂直平分线（设G为BO中点），
∴EB=EO（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠EOB=∠OBC=30°，
∴∠OEF=∠EOB+∠OBC=30°+30°=60°。
同理，FH是CO的垂直平分线（设H为CO中点），
∴FC=FO，
∴∠FOC=∠OCB=30°，
∴∠OFE=∠FOC+∠OCB=30°+30°=60°。
在△OEF中，∠OEF=∠OFE=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴△OEF是等边三角形。
【答案】：△OEF是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB=30°。
∵EG是BO的垂直平分线（设G为BO中点），
∴EB=EO（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠EOB=∠OBC=30°，
∴∠OEF=∠EOB+∠OBC=30°+30°=60°。
同理，FH是CO的垂直平分线（设H为CO中点），
∴FC=FO，
∴∠FOC=∠OCB=30°，
∴∠OFE=∠FOC+∠OCB=30°+30°=60°。
在△OEF中，∠OEF=∠OFE=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴△OEF是等边三角形。
【答案】：△OEF是等边三角形。
25. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,延长$AB至点D$,使$DB= AB$,连接$CD$,以$CD为直角边作等腰直角三角形CDE$,其中$∠DCE= 90^{\circ }$,连接$BE$。
求证：$\triangle ACD\cong \triangle BCE$。
求证：$\triangle ACD\cong \triangle BCE$。
答案：
【解析】：
∵在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，
∴$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ABC = \angle BAC = 45^\circ$，$AB = \sqrt{2}AC$（此处可省略长度关系，仅需角度）。
∵$DB = AB$，
∴点$B$为$AD$的中点（或$AD = 2AB$，但无需长度）。
∵$\triangle CDE$是等腰直角三角形，$\angle DCE = 90^\circ$，
∴$CD = CE$，$\angle DCE = 90^\circ$。
∵$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle DCE = 90^\circ$，
∴$\angle ACB + \angle BCD = \angle DCE + \angle BCD$（等式性质），
即$\angle ACD = \angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中：
$\begin{cases} AC = BC & (\text{已知}) \\\angle ACD = \angle BCE & (\text{已证}) \\CD = CE & (\text{等腰直角三角形性质}) \end{cases}$
∴$\triangle ACD \cong \triangle BCE$（SAS）。
【答案】：$\triangle ACD\cong \triangle BCE$
∵在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，
∴$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ABC = \angle BAC = 45^\circ$，$AB = \sqrt{2}AC$（此处可省略长度关系，仅需角度）。
∵$DB = AB$，
∴点$B$为$AD$的中点（或$AD = 2AB$，但无需长度）。
∵$\triangle CDE$是等腰直角三角形，$\angle DCE = 90^\circ$，
∴$CD = CE$，$\angle DCE = 90^\circ$。
∵$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle DCE = 90^\circ$，
∴$\angle ACB + \angle BCD = \angle DCE + \angle BCD$（等式性质），
即$\angle ACD = \angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中：
$\begin{cases} AC = BC & (\text{已知}) \\\angle ACD = \angle BCE & (\text{已证}) \\CD = CE & (\text{等腰直角三角形性质}) \end{cases}$
∴$\triangle ACD \cong \triangle BCE$（SAS）。
【答案】：$\triangle ACD\cong \triangle BCE$
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