《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

12. 已知$16x^{2}-2(m-1)xy+49y^{2}$是一个完全平方式,则$m=$29或-27.

答案： 【解析】：
由于$16x^{2}-2(m-1)xy+49y^{2}$是一个完全平方式，我们可以尝试将其表示为两个平方项的线性组合的平方。
首先，观察$16x^{2}$和$49y^{2}$，它们分别是$4x$的平方和$7y$的平方。
因此，该完全平方式可以表示为$(4x \pm 7y)^{2}$的形式。
展开$(4x \pm 7y)^{2}$，我们得到：
$(4x \pm 7y)^{2} = 16x^{2} \pm 56xy + 49y^{2}$
与原式$16x^{2}-2(m-1)xy+49y^{2}$对比，我们可以得到：
$-2(m-1)xy = \pm 56xy$
解这个方程，我们得到两个可能的
$m-1 = 28 \quad \text{或} \quad m-1 = -28$
解得：
$m = 29 \quad \text{或} \quad m = -27$
【答案】：
$29$或$-27$

13. 如下表中是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率.

(1) 由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完5次时,得到1次正面,正面出现的频率是$20\%$,那么,也就是说机器人抛掷完5次时,得到4次反面,反面出现的频率是80%.
(2) 由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完9999次时,得到5006次正面,正面出现的频率是50.07%,那么,也就是说机器人抛掷完9999次时,得到4993次反面,反面出现的频率是49.93%.
(3) 请你估计一下,抛这枚硬币,正面出现的概率是50%（或 0.5）.

答案： 【解析】：
(1) 机器人抛掷完5次时，得到1次正面，那么反面就是5-1=4次。正面出现的频率是$20\%$，因此反面出现的频率是$100\% - 20\% = 80\%$。
(2) 机器人抛掷完9999次时，根据表格，得到5006次正面，正面出现的频率是$\frac{5006}{9999} \approx 50.07\%$（四舍五入到小数点后两位）。因此，反面出现的次数是9999-5006=4993次，反面出现的频率是$100\% - 50.07\% = 49.93\%$。
(3) 根据大数定律，当试验次数足够多时，相对频率趋于概率。因此，抛这枚硬币正面出现的概率接近于正面出现的频率的稳定值，即$50\%$（或0.5）。
【答案】：
(1) 4；$80\%$
(2) 5006；$50.07\%$；4993；$49.93\%$
(3) $50\%$（或 0.5）

14. 若$(x-3)^{2}= x^{2}+kx+9$,则$k= $-6.

答案： 【解析】：
首先，我们将$(x-3)^{2}$展开，得到：
$(x-3)^{2} = x^{2} - 6x + 9$
由题目给出的等式$(x-3)^{2} = x^{2} + kx + 9$，我们可以将两边的多项式进行对应项的比较。
对于$x^{2}$的系数，两边都是1，所以这一项是匹配的。
对于常数项，两边都是9，所以这一项也是匹配的。
对于$x$的系数，左边是-6，右边是$k$。
因此，我们可以得出：
$k = -6$
【答案】：
$-6$

15. 若$a^{m}\cdot a^{n}\cdot a^{p+1}= a^{10}$,则$m+n+p= $9.

答案： 【解析】：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，可得$a^{m} \cdot a^{n} \cdot a^{p + 1} = a^{m + n + p + 1}$。已知该式等于$a^{10}$，所以指数相等，即$m + n + p + 1 = 10$，移项可得$m + n + p = 10 - 1 = 9$。
【答案】：9

16. 在一个不透明的盒子里,装有4个黑球和若干个白球队,它们除颜色外没有任何其他区别,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球队,则估计盒子中大约有白球12个.

答案： 【解析】：
设盒子中有白球$x$个。
根据题意，摸到黑球的概率为黑球数量与总球数量的比值，即：
$\frac{4}{4 + x}$
由题意知，共摸球40次，其中10次摸到黑球，所以摸到黑球的实验概率为：
$\frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
根据概率的估计，我们有：
$\frac{4}{4 + x} = \frac{1}{4}$
解这个方程，我们得到：
$4 × 4 = 4 + x$
$16 = 4 + x$
$x = 12$
经过验证，$x = 12$满足原方程，且符合题意。
【答案】：12

17. $16a^{3}b^{m}÷(-30a^{n}b^{2})= -\frac {8}{15}b^{2}$,那么$m=$4,$n=$3.

答案： 【解析】：对等式左边进行化简，系数部分：$16÷(-30)=-\frac{8}{15}$，与等式右边系数一致。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。对于$a$的幂次：$a^{3}÷ a^{n}=a^{3 - n}$，等式右边不含$a$，即$a$的指数为$0$，所以$3 - n = 0$，解得$n = 3$。
对于$b$的幂次：$b^{m}÷ b^{2}=b^{m - 2}$，等式右边为$b^{2}$，所以$m - 2 = 2$，解得$m = 4$。
【答案】：4,3

18. 计算题.
(1) $(4m^{2}+9n^{2})(3n-2m)(-3n-2m)$
(2) $(\frac {1}{195})^{0}+(-2)^{-2}+(-2^{-2})+(-2)^{2}$
(3) $(3x^{2}y^{3})^{2}÷(\frac {1}{3}xy^{2})^{2}-7x^{2}y^{2}$
(4) $(3x-y)^{2}-(2x+y)^{2}+5x(y-x)$
(5) $2(x-y)^{3}\cdot [-\frac {1}{2}(y-x)^{3}]^{2}$
(6) $(x-4y)(2x+3y)-(x+2y)(x-y)$

答案： 【解析】：
(1) 原式先利用平方差公式计算后两项：$(3n - 2m)(-3n - 2m) = ( -2m + 3n)( -2m - 3n) = (-2m)^2 - (3n)^2 = 4m^2 - 9n^2$，再与第一项相乘：$(4m^2 + 9n^2)(4m^2 - 9n^2) = (4m^2)^2 - (9n^2)^2 = 16m^4 - 81n^4$。
(2) 分别计算各项：任何非零数的0次方为1，所以$(\frac{1}{195})^0 = 1$；$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$；$-2^{-2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$；$(-2)^2 = 4$，相加得$1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 4 = 5$。
(3) 先算乘方：$(3x^2y^3)^2 = 9x^4y^6$，$(\frac{1}{3}xy^2)^2 = \frac{1}{9}x^2y^4$，再算除法：$9x^4y^6 ÷ \frac{1}{9}x^2y^4 = 81x^2y^2$，最后减$7x^2y^2$得$81x^2y^2 - 7x^2y^2 = 74x^2y^2$。
(4) 展开完全平方：$(3x - y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$，$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$，展开单项式乘多项式：$5x(y - x) = 5xy - 5x^2$，去括号合并：$9x^2 - 6xy + y^2 - 4x^2 - 4xy - y^2 + 5xy - 5x^2 = (-5xy)$。
(5) 变形$(y - x)^3 = -(x - y)^3$，则$[-\frac{1}{2}(y - x)^3]^2 = [\frac{1}{2}(x - y)^3]^2 = \frac{1}{4}(x - y)^6$，相乘得$2(x - y)^3 · \frac{1}{4}(x - y)^6 = \frac{1}{2}(x - y)^9$。
(6) 展开多项式乘法：$(x - 4y)(2x + 3y) = 2x^2 + 3xy - 8xy - 12y^2 = 2x^2 - 5xy - 12y^2$，$(x + 2y)(x - y) = x^2 - xy + 2xy - 2y^2 = x^2 + xy - 2y^2$，相减得$2x^2 - 5xy - 12y^2 - x^2 - xy + 2y^2 = x^2 - 6xy - 10y^2$。
【答案】：
(1) $16m^4 - 81n^4$；
(2) $5$；
(3) $74x^2y^2$；
(4) $-5xy$；
(5) $\frac{1}{2}(x - y)^9$；
(6) $x^2 - 6xy - 10y^2$