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2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
25. 如下图所示,有一个五角星 $ABCDE$,你能求出$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E$ 的度数吗？
答案：
【解析】：在五角星ABCDE中，连接CD。在△BGD中，∠BGD是其一个外角，根据三角形外角性质可得∠BGD=∠B+∠E。又因为∠BGD与∠CGD是对顶角，所以∠CGD=∠B+∠E。在△CGD和△ACD中，∠A+∠C+∠D+∠CGD=180°（三角形内角和为180°），将∠CGD=∠B+∠E代入可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
【答案】：180°
【答案】：180°
26. 已知：如下图所示,$\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D$ 为 $AC$ 中点,$AE \perp BD$,交 $BC$ 于 $E$,试说明$\angle ADB = \angle CDE$.
答案：
【解析】：过点 $ C $ 作 $ CG \perp AC $ 交 $ AE $ 的延长线于点 $ G $。
因为 $ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AE \perp BD $，所以 $ \angle ABD + \angle ADB = 90^{\circ} $，$ \angle CAG + \angle ADB = 90^{\circ} $，故 $ \angle ABD = \angle CAG $。
在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle CAG $ 中，$ \angle BAD = \angle ACG = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，$ \angle ABD = \angle CAG $，所以 $ \triangle ABD \cong \triangle CAG $（ASA），因此 $ AD = CG $，$ \angle ADB = \angle G $。
因为 $ D $ 为 $ AC $ 中点，所以 $ AD = CD $，则 $ CD = CG $。
由于 $ AB = AC $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，所以 $ \angle ACB = 45^{\circ} $，又因为 $ CG \perp AC $，所以 $ \angle GCE = 45^{\circ} = \angle DCE $。
在 $ \triangle CDE $ 和 $ \triangle CGE $ 中，$ CD = CG $，$ \angle DCE = \angle GCE $，$ CE = CE $，所以 $ \triangle CDE \cong \triangle CGE $（SAS），故 $ \angle CDE = \angle G $。
综上，$ \angle ADB = \angle CDE $。
【答案】：$\angle ADB = \angle CDE$
因为 $ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AE \perp BD $，所以 $ \angle ABD + \angle ADB = 90^{\circ} $，$ \angle CAG + \angle ADB = 90^{\circ} $，故 $ \angle ABD = \angle CAG $。
在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle CAG $ 中，$ \angle BAD = \angle ACG = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，$ \angle ABD = \angle CAG $，所以 $ \triangle ABD \cong \triangle CAG $（ASA），因此 $ AD = CG $，$ \angle ADB = \angle G $。
因为 $ D $ 为 $ AC $ 中点，所以 $ AD = CD $，则 $ CD = CG $。
由于 $ AB = AC $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，所以 $ \angle ACB = 45^{\circ} $，又因为 $ CG \perp AC $，所以 $ \angle GCE = 45^{\circ} = \angle DCE $。
在 $ \triangle CDE $ 和 $ \triangle CGE $ 中，$ CD = CG $，$ \angle DCE = \angle GCE $，$ CE = CE $，所以 $ \triangle CDE \cong \triangle CGE $（SAS），故 $ \angle CDE = \angle G $。
综上，$ \angle ADB = \angle CDE $。
【答案】：$\angle ADB = \angle CDE$
如下图 20① 所示,在$\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AE$ 是过点 $A$ 的一条直线,且 $B$,$C$ 在 $AE$ 的异侧,$BD \perp AE$ 于 $D$,$CE \perp AE$ 于 $E$.
(1) 试说明：$BD = DE + CE$.
(2) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到如图② 所示的位置 ($BD ＜ CE$ 时),其余条件不变,则 $BD$ 与 $DE$,$CE$ 的关系如何？请予以说明.
(3) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到如图③ 所示的位置 ($BD ＞ CE$ 时),其余条件不变,则 $BD$ 与 $DE$,$CE$ 的关系如何？请直接写出结果,不需说明.
(4) 归纳上述(1)(2)(3) 问,请用简洁的语言表达 $BD$,$DE$,$CE$ 的关系.
(1) 试说明：$BD = DE + CE$.
(2) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到如图② 所示的位置 ($BD ＜ CE$ 时),其余条件不变,则 $BD$ 与 $DE$,$CE$ 的关系如何？请予以说明.
(3) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到如图③ 所示的位置 ($BD ＞ CE$ 时),其余条件不变,则 $BD$ 与 $DE$,$CE$ 的关系如何？请直接写出结果,不需说明.
(4) 归纳上述(1)(2)(3) 问,请用简洁的语言表达 $BD$,$DE$,$CE$ 的关系.
答案：
【解析】：
(1) 因为 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$。又因为 $BD \perp AE$，$CE \perp AE$，所以 $\angle ADB = \angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$，故 $\angle ABD = \angle CAE$。在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CAE$ 中，$\angle ADB = \angle AEC$，$\angle ABD = \angle CAE$，$AB = AC$，所以 $\triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，则 $BD = AE$，$AD = CE$。因为 $AE = AD + DE = CE + DE$，所以 $BD = DE + CE$。
(2) 同理，$\angle BAC = 90^{\circ}$ 得 $\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$，$BD \perp AE$ 得 $\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$，所以 $\angle ABD = \angle CAE$。$\triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，$BD = AE$，$AD = CE$。此时 $AE = DE - AD = DE - CE$，所以 $BD = DE - CE$。
(3) 由旋转性质及全等三角形可得 $BD = CE - DE$。
(4) 综合三种情况，当 $B$，$C$ 在 $AE$ 异侧且 $D$，$E$ 在 $A$ 两侧时 $BD = DE + CE$；同侧时，若 $BD ＜ CE$ 则 $BD = DE - CE$，若 $BD ＞ CE$ 则 $BD = CE - DE$，统一为 $BD = |DE - CE|$ 或根据位置关系表述为 $BD = DE + CE$（$B$，$C$ 在 $AE$ 异侧且 $D$，$E$ 在 $A$ 两侧），$BD = |DE - CE|$（$B$，$C$ 在 $AE$ 同侧），简洁语言为 $BD$ 等于 $DE$ 与 $CE$ 的和或差的绝对值，根据位置确定和差。
【答案】：
(1)$BD = DE + CE$；
(2)$BD = DE - CE$；
(3)$BD = CE - DE$；
(4)$BD$ 等于 $DE$ 与 $CE$ 的和或差（根据直线 $AE$ 位置确定）
(1) 因为 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$。又因为 $BD \perp AE$，$CE \perp AE$，所以 $\angle ADB = \angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$，故 $\angle ABD = \angle CAE$。在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CAE$ 中，$\angle ADB = \angle AEC$，$\angle ABD = \angle CAE$，$AB = AC$，所以 $\triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，则 $BD = AE$，$AD = CE$。因为 $AE = AD + DE = CE + DE$，所以 $BD = DE + CE$。
(2) 同理，$\angle BAC = 90^{\circ}$ 得 $\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$，$BD \perp AE$ 得 $\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$，所以 $\angle ABD = \angle CAE$。$\triangle ABD \cong \triangle CAE(AAS)$，$BD = AE$，$AD = CE$。此时 $AE = DE - AD = DE - CE$，所以 $BD = DE - CE$。
(3) 由旋转性质及全等三角形可得 $BD = CE - DE$。
(4) 综合三种情况，当 $B$，$C$ 在 $AE$ 异侧且 $D$，$E$ 在 $A$ 两侧时 $BD = DE + CE$；同侧时，若 $BD ＜ CE$ 则 $BD = DE - CE$，若 $BD ＞ CE$ 则 $BD = CE - DE$，统一为 $BD = |DE - CE|$ 或根据位置关系表述为 $BD = DE + CE$（$B$，$C$ 在 $AE$ 异侧且 $D$，$E$ 在 $A$ 两侧），$BD = |DE - CE|$（$B$，$C$ 在 $AE$ 同侧），简洁语言为 $BD$ 等于 $DE$ 与 $CE$ 的和或差的绝对值，根据位置确定和差。
【答案】：
(1)$BD = DE + CE$；
(2)$BD = DE - CE$；
(3)$BD = CE - DE$；
(4)$BD$ 等于 $DE$ 与 $CE$ 的和或差（根据直线 $AE$ 位置确定）
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